Можно ли разрезать пиццу на равные куски для друзей? Задача о разрезании круга

Геометрический принцип деления круга

Круг обладает центральной и осевой симметрией. Площадь круга радиуса R вычисляется по формуле S = πR². Если соединить центр круга с его краем n прямолинейными радиусами так, чтобы углы между соседними отрезками составляли ровно 360°/n, площадь каждого сектора составит строго (1/n)πR². В школьном курсе геометрии такие фигуры называют круговыми секторами. Они равны между собой по площади и совпадают при наложении, то есть являются конгруэнтными.

Сложности начинаются тогда, когда центр пиццы недоступен либо нож обязан проходить строго по прямой линии от края до края без остановки в центре. Прямой разрез через всю пиццу представляет собой геометрическую секущую хорду. Если провести n прямых линий через случайные точки, круг распадётся на части разной площади и причудливой формы. Число таких кусков при n разрезах задаётся формулой максимального числа областей плоскости: L(n) = (n² + n + 2) / 2. При трёх разрезах получается максимум 7 кусков, при четырёх — 11, и добиться их равенства простым продолжением линий удаётся далеко не всегда.

Теорема о разрезании пиццы

В 1967 году математик Л. Дж. Аптон сформулировал задачу, которая позже легла в основу известной «теоремы о пицце» (Pizza Theorem). Представь ситуацию, когда нож ставят в произвольную точку внутри круга, не обязательно совпадающую с центром, и делают разрезы от края до края через эту выбранную точку под равными углами друг к другу.

Математики доказали строгое правило. Если сделать 4n прямых разрезов (где n ≥ 1) через общую точку под равными углами в 180° / (2n), то круг поделится на 4n, 8n или большее число секторов. Если два человека поочерёдно берут соседние куски по кругу, суммарная площадь съеденного каждым из них окажется абсолютно одинаковой. Например, при четырёх разрезах через любую внутреннюю точку образуется 8 кусков с углом 45 градусов в вершине. Сложив площади 1-го, 3-го, 5-го и 7-го кусков, мы получим ровно половину общей площади круга. Остальные четыре куска суммарно дадут вторую половину.

Криволинейные разрезы и моноэдральное замощение

В 2015 году математики Джоэл Хэдли и Стивен Уорсли из Ливерпульского университета доказали, что круг можно разрезать на равные изометричные куски без обязательного пересечения всех линий в центре. Они использовали принципы моноэдрального замощения диска.

Базовый вариант строится так. Сначала круг делят на 6 изогнутых лепесткообразных частей, напоминающих лопасти турбины, сходящихся в центре. Затем каждый изогнутый лепесток разрезается вдоль пополам на две части: внутреннюю, прилегающую к центру, и внешнюю, прилегающую к краю круга. Получается 12 абсолютно одинаковых по форме и площади кусков. Половина из них вообще не касается центра пиццы, а половина не имеет хрустящей корочки. Эту схему исследователи обобщили на семейства с 12, 20, 24 и более гранями, используя кривые линии с возрастающим числом изгибов.

Ограничения классических инструментов

В школьной планиметрии ключевую роль играют построения циркулем и линейкой без делений. Не всякое число секторов удаётся построить по классическим правилам Евклида. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой только тогда, когда n является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма.

Числа Ферма имеют вид F_k = 2^(2^k) + 1. На сегодняшний день известны только пять простых чисел этого вида: 3, 5, 17, 257 и 65537. Разрезать пиццу циркулем и линейкой на 3, 4, 5, 6 или 8 равных секторов возможно. Поделить круг классическими инструментами ровно на 7, 9, 11 или 13 равных секторов невозможно, поскольку эти числа не укладываются в теорему Гаусса — Ванцеля. Для таких делений приходится использовать приближённые методы или транспортир.