Почему в лотереях почти никогда не выиграть: разбор вероятностей на примере «Русского лото»

Математическое ожидание и экономика тиража

Любая азартная игра с точки зрения теории вероятностей описывается математическим ожиданием. Это среднее значение исхода случайного события при бесконечном повторении эксперимента. В честной сделке с нулевым ожиданием каждый рубль ставки в среднем возвращается игроку в полном объеме. В лотереях математическое ожидание глубоко отрицательное.

Российское законодательство о лотереях обязывает операторов направлять в призовой фонд от 50 до 70 процентов выручки от проданных билетов. Чаще всего эта планка удерживается ровно на уровне 50 процентов. Оставшаяся половина уходит на налоги, расходы оператора и прибыль организатора. Покупая билет за 150 рублей, участник математически сразу соглашается на мгновенную потерю 75 рублей. На дистанции в сотни тиражей игрок неизбежно теряет половину всех вложенных средств.

Как устроен билет и формула расчета суперприза

Билет «Русского лото» состоит из двух игровых карточек. В каждой карточке размещено 15 чисел в диапазоне от 1 до 90, разбитых на три горизонтальные строки по пять чисел. Всего в билете содержится 30 уникальных чисел. Мешок содержит 90 бочонков, ведущий достает их по одному без возвращения.

Главный выигрыш, называемый джекпотом или суперпризом, выдается при совпадении всех пятнадцати чисел любой карточки за первые 15 ходов. Подсчитать вероятность такого события позволяет формула числа сочетаний из школьного курса комбинаторики. Нужно найти число способов выбрать 15 конкретных номеров из 90 возможных без учета порядка их выпадения.

Число сочетаний из 90 по 15 равняется 90 факториал, деленному на произведение 15 факториал и 75 факториал. В числовом выражении знаменатель дает примерно 45,8 квадриллиона комбинаций, а точнее 45 795 673 964 460 816 вариантов. В одном билете находятся две независимые карточки по 15 чисел. Вероятность закрыть одну из них ровно на пятнадцатом ходу составляет 2 к 45,8 квадриллиона. В виде дроби это один шанс из почти 23 квадриллионов.

Шансы в разных турах игры

Розыгрыш тиража разбит на несколько этапов, правила в которых постепенно смягчаются.

• Первый тур требует закрыть любые пять чисел в одной горизонтальной строке билета, здесь шансы составляют доли процента, а победителей обычно единицы на весь тираж.
• Второй тур завершается, когда у кого-то из игроков совпадут все 15 чисел одной карточки, обычно это происходит в районе 30–40 хода, где число благоприятных исходов уже измеряется сотнями тысяч, но вероятность на один билет все еще ничтожно мала.
• Третий и последующие туры продолжаются до закрытия всех 30 чисел билета, игра идет обычно до 86-го, 87-го или 88-го хода.
• Последние туры распределяют минимальные утешительные призы, равные стоимости самого билета или превышающие ее на несколько десятков рублей.

Начиная с 86-го хода в мешке остается 4 бочонка. Вероятность совпадения возрастает, выигрывает примерно каждый четвертый билет. Организаторы называют это победой каждого второго или третьего участника, умалчивая о размере выплаты. Получение 150 или 170 рублей взамен потраченных 150 рублей является лишь возвратом собственной ставки, а не реальным доходом.

Почему покупка пачки билетов не решает проблему

Некоторые игроки пытаются переломить математику массовой скупкой билетов на тираж. Предположим, участник приобретает 100 билетов по 150 рублей, затратив 15 000 рублей. Шанс выиграть джекпот увеличивается в 100 раз, поднимаясь с 1 к 23 квадриллионам до 1 к 230 триллионам. В практическом смысле вероятность осталась равной абсолютному нулю.

При этом закон больших чисел начинает действовать против игрока намного быстрее. При покупке одного билета можно случайно забрать приз второго тура за счет высокой дисперсии. При покупке сотен билетов дисперсия сглаживается, результат приближается к строгому математическому ожиданию. Игрок с гарантией вернет себе около половины потраченной суммы через мелкие выплаты, зафиксировав чистый убыток.