Почему в студенческих группах часто совпадают дни рождения

Откуда берётся ошибка интуиции

Первая реакция почти у всех одинаковая: раз в году 365 дней, для совпадения нужно собрать хотя бы полторы сотни людей, а лучше все 183 — половину года. Эта прикидка отвечает на другой вопрос. Она годится, если спрашивать, совпадёт ли чей-то день рождения именно с моим — тогда действительно нужна большая группа, потому что сравнение идёт только с одним конкретным числом. В классе или на курсе задача другая: совпадение засчитывается между ЛЮБЫМИ двумя людьми, и таких пар в группе из двух-трёх десятков человек набирается сотня с лишним. Каждая пара — отдельный шанс на удачу, и шансы складываются.

Как считают вероятность совпадения

Прямой подсчёт вероятности хотя бы одного совпадения громоздкий, поэтому математики идут в обход: считают вероятность того, что совпадений нет вообще, а потом вычитают результат из единицы. У первого человека в группе день рождения может быть любым — 365 вариантов из 365, вероятность единица. У второго человека, чтобы не совпасть с первым, остаётся 364 свободных дня из 365. У третьего — уже 363 дня, свободных от дней рождения первых двух. Цепочка продолжается для каждого следующего человека, и на каждом шаге свободных дней становится на один меньше.

Перемножив все эти дроби для 23 человек, получаем вероятность полного отсутствия совпадений около 49,3%. Вычитаем из единицы — и вероятность хотя бы одного совпадения выходит на уровень 50,7%. Ровно на этой границе интуиция и подводит: кажется, что для перевеса шансов в пользу совпадения нужна огромная толпа, а хватает размера обычного школьного класса.

Дело в арифметике пар, не в размере группы

Ключ к разгадке — в том, как быстро растёт число пар при добавлении новых людей. Для группы из n человек число уникальных пар считается по формуле n умножить на n минус один, и результат делится пополам. В группе из 10 человек это всего 45 пар. В группе из 23 человек — уже 253 пары, хотя людей стало больше лишь вдвое с небольшим. В группе из 30 человек пар набирается 435, а в группе из 50 человек — 1225. Число участников растёт линейно, а число пар — квадратично, и именно эта разница в темпе объясняет, почему совпадение происходит настолько раньше, чем подсказывает первая прикидка.

Точные цифры для групп разного размера

Ниже — результаты прямого расчёта для нескольких размеров группы, посчитанные тем же способом, что и для 23 человек выше.

• Группа из 10 человек — вероятность совпадения около 11,7%
• Группа из 23 человек — вероятность совпадения около 50,7%
• Группа из 30 человек — вероятность совпадения около 70,6%
• Группа из 50 человек — вероятность совпадения около 97%

Где ещё работает та же закономерность

Идея внезапно частых совпадений среди пар выходит далеко за пределы календаря. В программировании есть понятие хеш-функции — короткого кода, который вычисляется из любого файла или пароля. Кодов существует ограниченное количество, а файлов, которые нужно закодировать, — бесконечно много, поэтому два разных файла рано или поздно получат один и тот же код. Специалисты по криптографии называют такое совпадение атакой дней рождения именно потому, что оценка риска столкновения устроена по той же схеме подсчёта пар, что и в задаче про класс. Чем больше объектов кодируется, тем быстрее растёт число возможных пар-столкновений, и системе приходится делать код заметно длиннее, чем кажется на первый взгляд достаточным.

Похожие ловушки интуиции

Человеческий мозг вообще плохо оценивает вероятности редких событий внутри больших групп: он привык мыслить в терминах одного конкретного человека или предмета, а не всех возможных пар и сочетаний сразу. Похожая недооценка встречается в лотереях, где людям кажется невероятным выигрыш соседа по подъезду, хотя билетов в обращении миллионы и кто-то выигрывает почти каждую неделю. Разница между личным взглядом на вероятность и подсчётом по всем комбинациям — тема, к которой стоит возвращаться при знакомстве с теорией вероятностей.