Разница между вероятностью и относительной частотой

В теории вероятностей важно строго разделять два понятия. Первое понятие — теоретическая вероятность. Это идеальная математическая мера шанса наступления события, рассчитанная до начала любого опыта. Если монета идеально сбалансирована, у нее есть ровно два равновозможных исхода. Вероятность решки всегда равна единице, деленной на два.

Второе понятие — относительная частота. Ее вычисляют уже после серии реальных опытов. Для этого количество выпавших решек делят на общее число выполненных бросков. Если подбросить монету 10 раз и получить 7 решек, частота составит 0,7. Если бросить ее еще 10 раз, результат изменится. Частота является случайной величиной, которая зависит от исхода конкретных бросков.

Сама вероятность от числа бросков никак не меняется. Меняется именно частота. При малом числе попыток случайные колебания уводят частоту далеко от половины. По мере накопления данных эти случайные отклонения начинают растворяться в общей массе результатов.

Как работает закон больших чисел

Связь между постоянной вероятностью и меняющейся частотой описывает закон больших чисел. В простейшем виде для независимых испытаний его сформулировал швейцарский математик Якоб Бернулли в труде «Искусство предположений», опубликованном в 1713 году. Ученый строго доказал теорему, подтверждающую интуитивную догадку о накоплении опыта.

Теорема Бернулли утверждает следующее. Какое бы сколь угодно малое положительное число мы ни взяли, с ростом числа бросков вероятность того, что разница между частотой и вероятностью окажется меньше этого числа, стремится к единице. Это явление называют сходимостью по вероятности.

Процесс стабилизации опирается на строгие математические принципы.

  • Каждый отдельный бросок независим от всех предыдущих и последующих попыток.
  • Условия опыта остаются строго одинаковыми на протяжении всей серии измерений.
  • Дисперсия среднего арифметического случайных величин уменьшается обратно пропорционально числу испытаний.

Компьютерная модель на 10 000 бросков

Если написать простой алгоритм на Python или провести расчет в таблицах, можно наглядно увидеть поведение частоты на дистанции в 10 000 шагов. Программа генерирует случайные числа 0 и 1 с равным шансом и на каждом шаге пересчитывает накопленную долю единиц.

На первых 10 шагах график частоты выглядит как резкая ломаная линия. Она скачет от значений 0,2 до 0,8. Одно случайное падение орла сильно меняет пропорцию. К 100 броскам амплитуда скачков заметно угасает, коридор колебаний сжимается до пределов от 0,40 до 0,60.

На отметке в 1 000 бросков линия графика превращается в плотную рябь вокруг горизонтальной оси 0,5. Значения редко выходят за границы интервала от 0,48 до 0,52. К 10 000 бросков частота практически сливается со значением 0,50, демонстрируя отклонения лишь в сотых и тысячных долях.

Исторические эксперименты с реальными монетами

До появления компьютеров ученые проверяли этот закон вручную, подбрасывая монеты тысячами раз и скрупулезно записывая результаты.

Французский естествоиспытатель Жорж-Луи де Бюффон в восемнадцатом веке провел 4 040 бросков французской монеты. Решка выпала 2 048 раз. Относительная частота составила 0,5069, что показало очень близкое соответствие теоретической вероятности.

Английский математик Карл Пирсон на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков довел масштаб эксперимента до рекордных значений. В одном испытании он бросил монету 12 000 раз и зафиксировал 6 019 решек с частотой 0,5016. Позже он выполнил серию из 24 000 бросков, получив 12 012 выпадений орла с частотой 0,5005.

Южноафриканский статистик Джон Керрих ставил опыт во время Второй мировой войны, находясь в лагере для интернированных лиц в Дании. Чтобы занять время, он бросил монету ровно 10 000 раз. Результат составил 5 067 успехов, дав итоговую частоту 0,5067.

Почему разница в штуках растет, а в процентах падает

С законом больших чисел связан парадокс, который часто ставит в тупик начинающих исследователей. Абсолютная разница между числом выпавших решек и орлов со временем увеличивается, хотя относительная частота приближается к половине.

При 100 бросках вполне реально получить 55 решек и 45 орлов. Разница составляет 10 штук, а отклонение частоты от нормы равно 5%. При 10 000 бросков мы можем получить 5 080 решек и 4 920 орлов. Разница выросла до 160 штук. Кажется, что баланс нарушился сильнее. Однако отклонение частоты составляет всего 0,8%.

По законам математической статистики разброс абсолютного числа успехов пропорционален квадратному корню из числа бросков. Квадратный корень растет медленнее самого числа испытаний. При делении растущей абсолютной разницы на быстро увеличивающееся число бросков итоговая погрешность доли стремится к нулю.

Частые вопросы

Может ли монета выпасть 10 000 раз подряд одной стороной?

Теоретически такое событие возможно, так как вероятность любой конкретной последовательности отлична от нуля. Однако шанс такого исхода равен одной второй в степени десять тысяч, что практически равно абсолютному нулю в рамках возраста Вселенной.

Влияет ли вес рельефа монеты на вероятность?

У настоящих металлических денег стороны имеют разный рисунок и глубину чеканки, поэтому центр тяжести едва заметно смещен. На выборке в несколько сотен бросков это незаметно, но при миллионах повторений более тяжелая сторона будет выпадать вниз на доли процента чаще.

В чем разница между слабым и усиленным законом больших чисел?

Слабый закон гарантирует сходимость по вероятности, то есть редкие сильные выбросы на бесконечности теоретически возможны, но их вероятность стремится к нулю. Усиленный закон Колмогорова доказывает почти достоверную сходимость, при которой последовательность средних значений стремится к математическому ожиданию с вероятностью ровно единица.

Почему казино всегда остается в плюсе, если шансы случайны?

Казино опирается именно на закон больших чисел. В играх правила заранее создают крошечный перевес в пользу заведения, например наличие сектора зеро в рулетке дает перевес около 2,7%. При миллионах ставок клиентов частота выигрышей гарантированно сходится к этой математической пропорции.