Математика дождя: как объём капли зависит от высоты облака

Тема объединяет механику переменной массы, дифференциальные уравнения и термодинамику фазовых переходов. На капли в воздухе действуют сила тяжести и аэродинамическое сопротивление среды, причём масса капли меняется каждую секунду из-за испарения или конденсации пара. Задача математика здесь — составить систему уравнений для скорости и радиуса капли, а затем решить её численными методами.

Уравнение движения капли с учётом переменной массы и сопротивления среды

Движение капли описывается вторым законом Ньютона для тела переменной массы. Сила тяжести направлена вниз, сила лобового сопротивления воздуха — вверх против вектора скорости. Коэффициент сопротивления зависит от режима обтекания и числа Рейнольдса. Мелкие капли тумана радиусом менее 0,05 мм движутся в вязком режиме по закону Стокса, где сила трения прямо пропорциональна скорости. Для обычных дождевых капель радиусом от 0,5 до 2,5 мм закон Стокса перестаёт работать. Здесь сопротивление становится пропорциональным квадрату скорости, поэтому капля быстро выходит на предельную скорость падения порядка семи-девяти метров в секунду.

Моделирование испарения во время падения

Под нижней границей облака относительная влажность воздуха падает ниже ста процентов, и капля начинает отдавать массу в окружающую среду. Скорость изменения радиуса капли определяется диффузией водяного пара и градиентом температур между каплей и воздухом. Уравнение испарения связывает скорость уменьшения радиуса с разностью давления насыщенного пара над поверхностью капли и парциального давления пара в атмосфере. При обдувании падающей капли набегающим потоком воздуха испарение ускоряется, что учитывается эмпирическим поправочным множителем, коэффициентом вентиляции.

Численный эксперимент и параметры облаков

Слоисто-дождевые облака обычно располагаются на высоте от трёхсот до тысячи метров, а нижняя граница кучево-дождевых туч может начинаться на полутора-двух километрах. Полученная система из двух взаимосвязанных дифференциальных уравнений для скорости и радиуса не решается в элементарных функциях в аналитическом виде. Для поиска ответа требуется составить расчётный алгоритм методом Эйлера или Рунге-Кутты в электронной таблице либо скриптом на языке Python, разбив путь капли на малые интервалы времени.

При проверке работы преподаватель оценивает следующие математические и прикладные компоненты:

• Корректность выбора режима аэродинамического сопротивления для диапазона скоростей от нуля до терминальной величины.
• Обоснованность физических допущений, включая учёт изменения плотности и температуры воздуха по высоте стандартной атмосферы.
• Графическое представление результатов в виде траекторий зависимости конечного объёма капли от высоты старта при разной относительной влажности приземного слоя.
• Анализ граничных условий, при которых радиус капли обращается в ноль до момента соприкосновения с землёй, что в метеорологии называют явлением вирга.

Где искать справочные данные для расчётов

Тебе понадобятся точные физические константы, а не произвольно взятые числа. Таблицы предельных скоростей падения капель разного диаметра опубликованы в классических методиках физики атмосферы и справочниках по гидрометеорологии. Значения плотности сухого воздуха, динамической вязкости и давления насыщенного пара при температурах от нуля до двадцати пяти градусов Цельсия берутся из таблиц физических величин или ГОСТ 4401-81 о стандартной атмосфере. Типичные распределения капель по размерам можно взять из спектра Маршалла-Пальмера, который описывает реальную структуру дождевых осадков.