Математическое моделирование эпидемии гриппа в школе

Границы модели и перевод непрерывных уравнений в разностную схему

Для школьного реферата математическая модель Кермака — Маккендрика 1927 года берётся в базовом виде без учёта демографии. Время развития вспышки гриппа составляет от трёх до пяти недель. За этот период естественной рождаемостью и смертностью в пределах школы можно пренебречь, поэтому общая численность коллектива N остаётся строго постоянной величиной.

Вся популяция делится на три непересекающиеся группы. Переменная S обозначает восприимчивых к вирусу людей, I — инфицированных и способных заражать других, R — выздоровевших с приобретённым иммунитетом либо изолированных дома. Непрерывная система связывает скорости изменения этих групп через коэффициенты передачи бета и выздоровления гамма. В программе 10-11 класса дифференциальные уравнения ещё не изучают в полном объёме, поэтому производные заменяются конечными разностями с шагом по времени в одни сутки. Каждый следующий день рассчитывается через состояние предыдущего дня с помощью рекуррентных формул.

Вычисление базового репродуктивного числа и порога эпидемии

Центральная математическая задача реферата заключается в строгом выводе условия, при котором число заболевших начинает расти. Прирост инфицированных положителен только тогда, когда производная dI/dt строго больше нуля. Отсюда выводится пороговое соотношение параметров. Отношение коэффициента заразности бета к коэффициенту выздоровления гамма задаёт базовое репродуктивное число R0. Для сезонного гриппа штаммов A и B это значение обычно лежит в диапазоне от 1,3 до 1,8.

Эпидемия в закрытом коллективе развивается исключительно в ситуации, когда начальная доля восприимчивых лиц превышает обратную величину репродуктивного числа. Если это условие не выполняется, занос инфекции приводит лишь к единичным вторичным заражениям, после чего вспышка сразу угасает сама собой.

Построение вычислительного эксперимента

1. Задай константы замкнутой системы, взяв реальную численность своего учебного заведения, например 750 человек, и одного исходно заражённого ученика.
2. Определи физический смысл параметров через среднюю продолжительность заразного периода гриппа, составляющую около 5 дней, откуда параметр гамма равен 0,2 в день.
3. Собери итерационную таблицу в электронных таблицах или напиши скрипт на языке Python, вычисляющий посуточные значения групп S, I и R на интервале в 40 дней.
4. Построй фазовые графики динамики эпидемии и зафиксируй день прохождения пика заболеваемости вместе с максимальной одновременной нагрузкой на коллектив.
5. Проведи симуляцию противоэпидемических мер, искусственно снизив контактный коэффициент бета на 30% за счёт моделирования масочного режима или досрочного роспуска классов.

Критерии проверки работы преподавателем

При оценке математического реферата преподаватель смотрит на логическую строгость перехода от биологического описания болезни к алгебраическим выражениям. Важно правильно объяснить размерность коэффициентов. Параметр бета измеряется в контактах, достаточных для передачи вируса, в единицу времени, а параметр гамма прямо пропорционален обратной величине длительности болезни. Оценивается также соблюдение закона сохранения численности: сумма значений S, I и R в абсолютно любой расчётный день обязана быть равна точно исходному числу N.

Источники реальных параметров

Брать цифры наугад нельзя. Продолжительность инкубационного и контагиозного периодов гриппа берётся из методических указаний и эпидемиологических бюллетеней Роспотребнадзора. Санитарные правила СП 2.4.3648-20 и СП 3.3686-21 содержат официальный нормативный ориентир для закрытия отдельных классов или всей школы на карантин при одновременном отсутствии по причине гриппа и ОРВИ более 20% учащихся. Эту нормативную границу удобно наложить на полученную кривую количества больных для обоснования своевременности карантинных мер.