Как форма пиццы влияет на её площадь

Что именно считают, когда говорят о площади пиццы

Площадь круглой пиццы вычисляют по школьной формуле — число пи умножают на радиус в квадрате, а радиус равен половине диаметра. Формула короткая, но именно она отвечает на вопрос из заголовка. Радиус входит в неё в квадрате, а не в первой степени, поэтому площадь реагирует на изменение диаметра гораздо резче, чем кажется на глаз. Пицца выглядит просто более широким кругом, а по количеству теста и начинки внутри неё может оказаться в разы больше, чем ожидает человек, сравнивающий пиццы на глаз по одной лишь ширине.

Как растёт площадь при увеличении диаметра

Прямой расчёт по формуле для трёх стандартных размеров это подтверждает. Пицца диаметром двадцать сантиметров даёт площадь около триста четырнадцати квадратных сантиметров. Пицца тридцать сантиметров — уже около семисот семи квадратных сантиметров. Пицца сорок сантиметров — около тысячи двухсот пятидесяти семи квадратных сантиметров. Диаметр между первой и третьей пиццей вырос ровно вдвое, а площадь — ровно вчетверо. Диаметр между первой и второй вырос в полтора раза, а площадь — в два и четверть раза. Такое соотношение — прямое следствие того, что радиус в формуле площади стоит в квадрате, а не случайность конкретно выбранных чисел.

Почему одна большая пицца выгоднее двух маленьких

Классический вопрос про пиццерию решается тем же расчётом. Одна пицца диаметром сорок сантиметров и две пиццы по двадцать сантиметров вместе как будто закрывают одинаковую суммарную ширину стола, но по площади это разные величины. Площадь одной большой пиццы — около тысячи двухсот пятидесяти семи квадратных сантиметров. Суммарная площадь двух маленьких — около шестисот двадцати восьми квадратных сантиметров, то есть ровно вдвое меньше. Человек, который выбирает две маленькие пиццы вместо одной большой при том же суммарном диаметре, на деле получает вдвое меньше еды, хотя интуитивно ширина стола кажется той же самой.

Что это значит для цены за квадратный сантиметр

Предположим, у пиццерии есть три размера с ценами триста сорок девять, пятьсот девяносто девять и восемьсот девяносто девять рублей за диаметры двадцать, тридцать и сорок сантиметров — цены здесь условные, для иллюстрации самого принципа, а не реальный прайс-лист конкретного заведения. Разделив каждую цену на посчитанную выше площадь, получаем стоимость одного квадратного сантиметра пиццы. Для двадцати сантиметров выходит чуть больше рубля за квадратный сантиметр. Для тридцати сантиметров — около восьмидесяти пяти копеек. Для сорока сантиметров — около семидесяти двух копеек. Чем крупнее пицца, тем дешевле обходится каждый квадратный сантиметр начинки, потому что цена у пиццерий обычно растёт медленнее площади: тесто и упаковка дорожают почти линейно с диаметром, а еды внутри прибавляется по квадрату.

На тех же условных ценах сравнение одной большой пиццы против двух маленьких того же суммарного диаметра даёт заметную разницу. Одна пицца сорок сантиметров за восемьсот девяносто девять рублей стоит около семидесяти двух копеек за квадратный сантиметр. Две пиццы по двадцать сантиметров, вместе взятые, обойдутся в шестьсот девяносто восемь рублей при той же суммарной ширине стола, но дадут вдвое меньше площади — и цена за квадратный сантиметр вырастет до рубля с небольшим, то есть почти в полтора раза дороже. Разница держится на той же арифметике роста площади по квадрату радиуса, а не на конкретных ценах, которые у каждой пиццерии свои.

Круглая или квадратная форма — что даёт больше начинки

Форма коржа влияет на площадь ещё сильнее, если сравнивать честно — расход теста по краю к расходу теста по краю, а не просто диаметр к диаметру. Круг диаметром тридцать сантиметров и квадрат со стороной тридцать сантиметров на глаз кажутся близкими по размеру, но квадрат при этом заметно больше по площади — девятьсот квадратных сантиметров против семисот семи у круга. Это сравнение нечестное: у квадрата со стороной тридцать сантиметров периметр заметно больше, чем у круга того же диаметра, то есть теста по краю уходит больше.

Честное сравнение — взять одинаковый периметр коржа, то есть одинаковый расход теста по краю, и посмотреть, какая форма даёт больше площади внутри. Для периметра, равного длине окружности тридцатисантиметрового круга, сторона равновеликого по периметру квадрата получается около двадцати трёх с половиной сантиметров, а площадь такого квадрата — около пятисот пятидесяти пяти квадратных сантиметров. Круг с тем же периметром сохраняет площадь около семисот семи квадратных сантиметров. При одинаковом расходе теста по краю круглая форма даёт заметно больше начинки внутри, чем квадратная, — эта разница известна в геометрии как изопериметрическое свойство круга.

Что стоит за формулой на практике

Объяснение простое, если смотреть на саму формулу площади круга. Периметр круга растёт пропорционально радиусу в первой степени, а площадь — пропорционально радиусу во второй степени. При увеличении размера пиццы расход теста по краю растёт линейно, а количество начинки внутри — квадратично, поэтому крупная пицца всегда выигрывает у мелкой по эффективности использования теста. Ровно из-за этой же разницы степеней круглая форма выгоднее квадратной при равном периметре — у квадрата периметр распределён по четырём прямым сторонам менее эффективно, чем у круга, где каждая точка границы одинаково удалена от центра.

• диаметр увеличился вдвое — площадь выросла вчетверо, потому что радиус входит в формулу площади в квадрате
• одна большая пицца почти всегда выгоднее по площади, чем несколько маленьких того же суммарного диаметра
• цена за квадратный сантиметр у крупных пицц обычно ниже, потому что тесто по краю дорожает медленнее площади
• при равном периметре круглая форма даёт больше площади внутри, чем квадратная или любая другая многоугольная