Как древние египтяне измеряли землю и строили пирамиды

Зачем египтянам вообще понадобилось так точно измерять землю

Каждый год Нил разливался и затапливал прибрежные поля, а вода, отступая, смывала межи — границы между соседними земельными участками. Землю в Египте делили между крестьянами заново после каждого такого разлива, и чтобы никто не получил чужой надел, требовался точный и повторяемый способ восстановить прежние границы. Древнегреческий историк Геродот, побывавший в Египте, писал о людях, которые профессионально занимались этой работой и умели строить прямые углы для разметки участков. Именно из этой практической задачи, а вовсе не из отвлечённых рассуждений, и выросла геометрия в её начальном, буквальном смысле — само слово переводится как измерение земли.

Верёвка с узлами и прямой угол без чертёжных инструментов

Греки называли египетских землемеров гарпедонаптами — натягивателями верёвок, потому что главным их инструментом была обычная верёвка с узлами, завязанными через равные промежутки. Верёвку с двенадцатью такими промежутками растягивали в треугольник со сторонами в три, четыре и пять промежутков — и угол между меньшими сторонами такого треугольника всегда получался прямым, ровно девяносто градусов. Свойство проверяется прямым счётом: три в квадрате плюс четыре в квадрате равно двадцать пять, и пять в квадрате тоже равно двадцать пять — числа совпадают, значит угол между сторонами длиной три и четыре действительно прямой.

По оценке историка математики Морица Кантора, это соотношение три-четыре-пять было известно египтянам уже около двух тысяч трёхсот лет до нашей эры. Ни компас, ни угольник для такой разметки не требовались — трое работников растягивали верёвку за колышки, и получившийся треугольник сам задавал прямой угол на местности. Тот же приём применяли и в поле, и на стройке, где ровные прямые линии оснований нужны были ничуть не меньше, чем на размежёванном участке земли.

Локоть, ладонь и палец — из чего состояла система мер длины

Основной единицей длины в Египте служил локоть — расстояние примерно от локтевого сгиба до кончиков пальцев. Царский локоть, которым пользовались при государственных обмерах и на крупных стройках, равнялся семи ладоням, а в привычных сегодня единицах составлял около пятидесяти двух с половиной сантиметра. Ладонь делилась на четыре пальца, так что один палец получался около полутора-двух сантиметров, а вся система выстраивалась по строгой пропорции — двадцать восемь пальцев в одном локте. Такая дробность позволяла измерять с точностью, достаточной и для разметки поля, и для кладки стен.

От локтей к привычным метрам — как это выглядит на практике

Пересчёт древних мер в современные помогает представить их наглядно. Поле шириной сто локтей и глубиной пятьдесят локтей занимало пять тысяч квадратных локтей. При локте около пятидесяти двух с половиной сантиметра, то есть чуть больше половины метра, такое поле в привычных единицах составляло примерно тысячу триста восемьдесят квадратных метров, или немногим более десятой доли гектара. Для писца, который вёл учёт земельных наделов, перевод между этими единицами был обычной рутинной операцией, а не сложным вычислением.

Сечат — отдельная единица площади для целых полей

Для измерения площади крупных участков египтяне применяли собственную единицу — сечат, которую греки позже называли арурой. Сечат равнялся площади квадрата со стороной в один хет, а хет составлял сто локтей. В современных мерах такой квадрат занимает около двух тысяч семисот квадратных метров, то есть чуть больше четверти гектара. Пользоваться отдельной крупной единицей для площади полей было удобнее, чем каждый раз пересчитывать десятки тысяч квадратных локтей, — сечат сразу давал писцу нужный порядок величины для учёта урожая и налогов с участка.

Что рассказывает о повседневной математике папирус Ринда

Главный источник знаний о практических расчётах древних египтян — папирус, который писец по имени Ахмес переписал примерно в тысяча шестьсот пятидесятом году до нашей эры со значительно более раннего документа. Хранится папирус в Британском музее и известен под двумя именами — папирус Ринда, по фамилии купившего его в девятнадцатом веке шотландца, и папирус Ахмеса, по имени переписчика. В нём собраны восемьдесят четыре задачи с решениями — на вычисление площади треугольников, четырёхугольников и приближённой площади круга, на действия с дробями и на пропорциональный раздел урожая или имущества между несколькими людьми.

Дроби в папирусе устроены необычно для современного взгляда — египтяне почти всегда записывали их как сумму разных дробей с числителем один, вроде одна вторая плюс одна десятая вместо привычной нам записи. Такая форма усложняла запись, зато хорошо ложилась на практическую задачу раздела — скажем, поровну распределить хлеб или зерно между работниками, когда результат редко получается ровным числом. Подавляющее большинство задач папируса связаны именно с землемерием и строительством, а не с отвлечёнными числовыми головоломками — это был рабочий справочник писца, а не учебник теории.

• верёвка с двенадцатью равными узлами, растянутая в треугольник три-четыре-пять, задаёт точный прямой угол
• царский локоть — около пятидесяти двух с половиной сантиметра, делится на семь ладоней и двадцать восемь пальцев
• сечат — единица площади для полей, равная квадрату со стороной сто локтей, около двух тысяч семисот квадратных метров
• папирус Ринда содержит восемьдесят четыре практические задачи на площади, дроби и раздел имущества