Как теория вероятностей помогает выигрывать в настольные игры

Почему сумма двух костей ведёт себя иначе, чем одна

У одной кости все шесть граней равновероятны — выпадение единицы так же возможно, как выпадение шестёрки, и предсказать конкретное число нельзя никак. С двумя костями всё меняется, потому что в счёт идёт сумма двух чисел сразу, а таких пар при шести гранях каждой кости получается тридцать шесть — от 1+1 до 6+6.

Ключевая деталь в том, что разные суммы получаются разным числом способов. Сумму 2 даёт только пара 1 и 1 — единственная комбинация. А сумму 7 дают сразу шесть разных пар: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 и 6+1. Раз способов получить семёрку в шесть раз больше, чем способов получить двойку, и вероятность выпадения семёрки в шесть раз выше.

Полное распределение суммы — все одиннадцать значений

Перебор всех 36 пар двух костей на компьютере даёт точную картину: у каждой суммы от 2 до 12 своё число комбинаций и своя вероятность. Распределение симметрично — сумма 2 и сумма 12 встречаются одинаково редко, сумма 3 и сумма 11 одинаково чуть чаще, и так далее до пика ровно в середине.

• сумма 2 или 12 — по 1 комбинации из 36, вероятность около 2,8%
• сумма 3 или 11 — по 2 комбинации, вероятность около 5,6%
• сумма 4 или 10 — по 3 комбинации, вероятность около 8,3%
• сумма 5 или 9 — по 4 комбинации, вероятность около 11,1%
• сумма 6 или 8 — по 5 комбинаций, вероятность около 13,9%
• сумма 7 — 6 комбинаций из 36, вероятность около 16,7%, самая частая сумма из всех

Матожидание — какая сумма выпадет в среднем

Матожидание одной кости считается просто: среднее арифметическое от 1 до 6 равно 3,5, хотя такого числа сама кость выбросить не может. Для двух костей матожидание суммы складывается из двух таких половинок и равно ровно 7. Число 7 оказывается одновременно и самой вероятной суммой, и средним значением при множестве бросков — эти две вещи совпадают не всегда в теории вероятностей, но здесь распределение симметрично, и совпадение получается точным.

На практике это значит, что при достаточно долгой игре сумма очков на кубиках в среднем тяготеет к семёрке. Один конкретный бросок предсказать нельзя, а вот куда сместится фишка за десятки ходов — уже можно прикинуть, опираясь на эти числа.

Как это работает в «Монополии»

Фишка в «Монополии» двигается ровно на сумму двух костей, и раз семёрка выпадает чаще всего, клетки, отстоящие от часто посещаемых точек на семь шагов, статистически получают больше визитов, чем соседние с ними клетки на шесть или восемь шагов. Опытные игроки держат это в уме, выбирая, какую собственность выкупать в первую очередь — по частоте, с которой на неё будут заходить соперники, а не по красоте цвета на поле.

Отдельная механика «Монополии» — дубль, когда обе кости показывают одинаковое число. Вероятность выбросить дубль на одном ходу равна 6 из 36, то есть примерно 16,7%. Правило требует садиться в тюрьму после трёх дублей подряд, и на первый взгляд кажется, что это происходит часто. Расчёт показывает обратное: вероятность подряд выбросить три дубля равна произведению трёх шестых долей, а это меньше половины процента — редкое, почти анекдотическое невезение.

Другие игры на тех же двух костях

«Колонизаторы» (Catan) используют ровно ту же сумму двух костей для розыгрыша ресурсов, и создатели игры знали распределение заранее: на каждом шестиугольнике поля стоит число от 2 до 12, а рядом с ним нанесены точки, показывающие частоту выпадения. У чисел 6 и 8 точек больше всего — пять штук, ровно по числу комбинаций, которые дают эти суммы. Расставляя первые поселения, опытный игрок тянется именно к таким клеткам, а не к редким двойкам и двенадцаткам.

В нардах кости бросают отдельно, поэтому там работает другая логика — значение имеет сочетание двух отдельных чисел и особый бонус за дубль, дающий четыре хода вместо двух. Йетзи и похожие игры с пятью костями опираются уже на комбинаторику покруче, но в основе всё та же идея: чем больше способов собрать нужный результат, тем чаще он выпадает.

Что из этого стоит запомнить за игровым столом

Знание распределения суммы двух костей не гарантирует выигрыш в отдельной партии — кости не помнят прошлых бросков и каждый раз работают заново. Оно помогает принимать более разумные решения там, где выбор стоит между несколькими вариантами: какую клетку выкупить, куда поставить поселение, стоит ли рисковать ради дубля. Разница между игроком, который считает вероятности, и тем, кто полагается только на удачу, проявляется на дистанции из десятков партий, а не за один вечер.