Почему пчелиные соты — шестиугольные

Математика замощения плоскости

В геометрии задача покрытия поверхности одинаковыми фигурами без щелей и наложений называется паркетом или замощением. Чтобы одинаковые правильные многоугольники плотно прилегали друг к другу и сходились в одной вершине, сумма их углов в этой точке должна составлять ровно 360 градусов. Если сумма окажется меньше или больше, фигуры либо наложатся краями, либо между ними останется пустое пространство.

Этому строгому правилу среди всех правильных многоугольников подчиняются всего три фигуры:

• Равносторонние треугольники с углом 60 градусов, где в одной вершине сходятся шесть фигур
• Квадраты с углом 90 градусов, которые сходятся в одной вершине по четыре штуки
• Правильные шестиугольники с углом 120 градусов, где в точке стыка встречаются ровно три фигуры

Пятиугольники замостить плоскость не могут. Угол правильного пятиугольника равен 108 градусам. Три пятиугольника дают в сумме 324 градуса, оставляя незаполненную щель в 36 градусов, а четыре пятиугольника дают 432 градуса, наползая друг на друга. Семиугольники и восьмиугольники также не складываются в сплошной ковер без добавления других фигур. Природе оставалось выбрать только из трех кандидатов.

Битва периметров и экономия воска

Самой вместительной фигурой на плоскости является круг. При одинаковом периметре круг охватывает наибольшую площадь среди всех плоских геометрических фигур. Круглые трубки были бы идеальным хранилищем, но при их укладке вплотную между ними возникают треугольные пустоты. Место в улье пропадает зря, а на внешние стенки таких отдельных трубок уходит двойной слой материала.

Среди трех фигур, способных замостить плоскость без щелей, правильный шестиугольник ближе всех расположен к форме круга. Чтобы понять выгоду насекомых, математики сравнивают периметры треугольника, квадрата и шестиугольника одинаковой площади.

Представим, что площадь одной ячейки должна быть равна ровно 100 квадратным миллиметрам. Периметр равностороннего треугольника такой площади составит примерно 45,6 миллиметра. У квадрата той же вместимости периметр равен ровно 40 миллиметрам. Правильный шестиугольник площадью 100 квадратных миллиметров имеет периметр всего 37,2 миллиметра.

Биологическая цена пчелиного воска

Для пчелиной семьи экономия воска буквально вопрос выживания. Пчелы не собирают воск с цветов в готовом виде. Рабочие пчелы вырабатывают его специальными железами на брюшке, выделяя тонкие прозрачные восковые чешуйки. Это крайне тяжелый для организма процесс, требующий огромного запаса энергии.

Чтобы выделить всего один грамм воска, пчелиная семья расходует от шести до восьми граммов меда и значительное количество пыльцы. Если бы пчелы тратили на соты больше строительного материала, им приходилось бы делать гораздо больше вылетов за нектаром, быстрее изнашивать крылья и рисковать зимними запасами корма.

Физика мыльных пузырей и живая стройка

Долгое время считалось загадкой, каким образом крошечное насекомое способно выдерживать идеальный угол в 120 градусов между стенками без транспортира и математических расчетов. Биологические наблюдения с помощью современных микрокамер показали весь процесс строительства в деталях.

Сначала пчелы начинают строить цилиндрические ячейки, ориентируясь на форму собственного тела. Насекомое выгребает восковую массу вокруг себя, формируя круглую трубку. Плотность заселения сота во время стройки очень высока, сотни рабочих пчел непрерывно двигаются и разогревают воздух своими телами. Температура воска в зоне активной лепки достигает 35-40 градусов Цельсия.

При такой температуре воск размягчается и начинает проявлять свойства вязкой полужидкой массы. Здесь начинает работать физический закон поверхностного натяжения. Когда цилиндрические стенки соприкасаются друг с другом в разогретом состоянии, силы поверхностного натяжения стягивают их вместе, превращая общие стыки в плоские грани под углом ровно 120 градусов.

Теорема о сотах и строгое математическое доказательство

О совершенстве пчелиных построек ученые рассуждали еще в древности. Римский ученый Марк Теренций Варрон в первом веке до нашей эры описал соты в трактате о сельском хозяйстве и предположил, что шестиугольник позволяет вместить больше меда при меньших затратах труда. Позже греческий геометр Папп Александрийский посвятил этому явлению отдельное математическое исследование.

В математике утверждение о наименьшем периметре шестиугольной сетки получило название гипотезы сот. Ученым было очевидно преимущество шестиугольника перед квадратом и треугольником. Сложность заключалась в том, чтобы доказать превосходство правильного шестиугольника вообще перед любыми возможными формами, включая криволинейные границы и произвольные многоугольники.

Окончательную точку в этом вопросе поставил американский математик Томас Хейлз в 1999 году. Он опубликовал строгое математическое доказательство на двадцати страницах формул. Теорема Хейлза подтвердила, что разбиение плоскости на равные по площади участки с минимальным общим периметром границ достигается исключительно при помощи правильной шестиугольной сетки.