Геометрическая загадка сгибания бумаги

Представь обычный прямоугольный лист со случайными размерами, например, фотографию 10 на 15 сантиметров. Отношение сторон здесь составляет полтора. Если сложить этот лист пополам по длинной стороне, получится прямоугольник размером 10 на 7,5 сантиметра. Отношение сторон нового прямоугольника уже другое, оно равно примерно 1,33. Форма изменилась, прямоугольник стал более квадратным. Если повторить сгиб ещё раз, получится размер 5 на 7,5 сантиметра с пропорцией опять полтора. Лист постоянно скачет между вытянутой и приземистой формой.

В типографиях и канцелярии такие постоянные изменения формы создавали огромные проблемы. Книги и чертежи невозможно было уменьшать или увеличивать простым масштабированием. При изменении формата текст либо растягивался, либо оставлял по краям широкие пустые поля, которые приходилось срезать в макулатуру. Инженеры искали прямоугольник с уникальным свойством, у которого отношение большей стороны к меньшей в точности сохранялось бы после складывания листа пополам.

Решить эту задачу помогает простая школьная алгебра. Пусть короткая сторона листа равна x, а длинная сторона равна y. Исходное отношение сторон записывается как y делить на x. Когда лист сгибают пополам поперек длинной стороны, новая короткая сторона становится равна y делить на два, а новая длинная сторона теперь равна x. Отношение сторон полученного меньшего листа выглядит как x, деленное на половину y. Математики приравняли первое отношение ко второму, чтобы пропорции совпали.

Получилось уравнение, где y делить на x равняется двум x, деленным на y. Перемножив крест-накрест, получаем равенство: y в квадрате равно двум x в квадрате. Разделив обе части на x в квадрате, приходим к тому, что отношение y к x в квадрате равно двум. Извлечение квадратного корня дает финальный результат. Отношение длинной стороны к короткой должно строго равняться квадратному корню из двух, что приблизительно составляет 1,4142.

Откуда взялись точные миллиметры

Отношение 1 к 1,414 задает только форму, но не дает конкретных физических размеров. Можно нарезать лист размером 10 на 14,14 сантиметра или метр на метр сорок один. Чтобы стандартизировать размеры для промышленности, создатели системы привязали самый большой лист серии к метрической системе мер.

За основу взяли формат А0 и постановили сделать его площадь равной ровно одному квадратному метру. Это миллион квадратных миллиметров. Зная площадь и соотношение сторон, инженеры составили систему из двух простых уравнений.

  • Площадь прямоугольника равна произведению сторон, то есть x умножить на y равно 1 000 000 квадратных миллиметров.
  • Длинная сторона y равна короткой стороне x, умноженной на корень из двух, то есть примерно 1,41421356.
  • Подставив второе выражение в первое, получаем уравнение: x в квадрате умножить на 1,41421356 равно 1 000 000.
  • Отсюда квадрат короткой стороны равен примерно 707 106,78, а сама короткая сторона x выходит равной 840,896 миллиметра.
  • Длинная сторона y при умножении найденного числа на корень из двух дает 1189,207 миллиметра.

В чертежах и на производстве неудобно работать с тысячными долями миллиметра. Размеры округлили по стандартным математическим правилам до целых чисел. Базовый лист А0 официально получил габариты 841 на 1189 миллиметров. Если перемножить эти два числа, получится площадь 0,999949 квадратного метра, погрешность составляет ничтожные доли процента.

Все остальные форматы линейки образуются последовательным делением листа пополам параллельно его короткой стороне. Каждый шаг делит площадь на два и сохраняет волшебную пропорцию.

  1. Лист А0 размером 841 на 1189 миллиметров разрезают пополам и получают формат А1 с габаритами 594 на 841 миллиметр.
  2. Половина формата А1 дает размер А2, равный 420 на 594 миллиметра.
  3. Половина формата А2 превращается в формат А3 со сторонами 297 на 420 миллиметров.
  4. Половина формата А3 становится привычным офисным листом А4 с точными размерами 210 на 297 миллиметров.

История создания стандарта

Первым уникальное математическое свойство пропорции один к квадратному корню из двух описал немецкий физик и писатель Георг Кристоф Лихтенберг. В 1786 году он отправил письмо своему другу Иоганну Бекману, где восхищался практичностью подобного формата бумаги. Лихтенберг заметил, что книги такого формата выглядели аккуратно, а переиздание текста в меньшем размере не требовало сложного переверстывания страниц.

Во время Великой французской революции правительство искало рациональные решения для всего подряд. В 1798 году во Франции приняли закон о налоге на бумагу и официально ввели форматы с пропорцией корня из двух, но после падения Республики о законе быстро забыли. Каждая типография в Европе продолжала выпускать книги собственных причудливых размеров.

В начале двадцатого века промышленный хаос стал невыносим. За дело взялся немецкий инженер и математик Вальтер Порстманн. Он объединил идею площади в один квадратный метр и соотношение Лихтенберга, создав стройную систему бумажных форматов. В 1922 году институт стандартизации Германии утвердил эту разработку под шифром DIN 476. Стандарт оказался настолько удобным, что в 1975 году Международная организация по стандартизации утвердила его как международный стандарт ISO 216. Сегодня им пользуется почти весь мир.

Неочевидный плюс: расчет веса почты

Стандарт серии А несет в себе еще одно гениальное инженерное удобство, связанное с измерением массы бумаги. На каждой пачке для принтера крупными буквами пишут плотность, например, 80 граммов на квадратный метр.

Поскольку лист А0 имеет площадь ровно один квадратный метр, один целый лист плотностью 80 граммов весит ровно 80 граммов. Формат А4 получается путем четырехкратного складывания листа А0 пополам. Площадь при этом уменьшается ровно в шестнадцать раз, потому что два в четвертой степени равно шестнадцати.

Разделив 80 граммов на шестнадцать, мы получаем ровно 5 граммов. Именно столько весит чистый стандартный лист офисной бумаги А4. Работнику почты или секретарю не нужны весы для взвешивания писем. Достаточно посчитать количество листов в конверте, умножить число страниц на пять и сразу узнать точную стоимость почтовой марки.

Альтернативный американский формат

Североамериканский континент живет по собственным правилам. В США, Канаде и некоторых странах Латинской Америки официальным стандартом для документов остается формат Letter. Его размеры составляют 8,5 на 11 дюймов, что в метрической системе равняется 215,9 на 279,4 миллиметра.

Отношение сторон американского листа составляет приблизительно 1,294. Если согнуть лист Letter пополам, соотношение сторон нового листа превратится в 1,545. Никакой математической гармонии здесь нет. По легенде, этот формат появился во времена ручного отлива бумаги, когда рабочий физически мог зачерпнуть из чана сетку бумаги с максимальной длиной стороны в сорок четыре дюйма, которую затем разрезали на четыре части по одиннадцать дюймов.

Частые вопросы

Почему при делении листов миллиметры не содержат десятых долей?

При делении нечетных чисел возникают дробные доли, например, половина от 841 миллиметра равна 420,5 миллиметра. Стандарт ISO 216 требует округления любого размера листа до ближайшего целого миллиметра в меньшую сторону, чтобы на бумажных фабриках режущие станки не накапливали погрешности.

Зачем нужны форматы серии B и C?

Серия B предназначена для печати плакатов, паспортов и книг, ее размеры являются средним геометрическим между соседними форматами серии А. Серия С используется исключительно для производства почтовых конвертов, чтобы в них легко помещались документы формата А без необходимости мять бумагу.

Можно ли из листа А4 сложить правильный квадрат без остатка?

Сложить правильный геометрический квадрат из целого листа А4 в один прием невозможно. Отношение сторон выражается иррациональным числом корень из двух, поэтому короткая и длинная стороны несоизмеримы в целых числах. Лишнюю полоску бумаги всегда приходится отрезать.

Почему США не переходят на международный формат А4?

Переход требует полной замены оборудования на всех бумажных комбинатах, перенастройки печатных станков, изменения стандартов офисной мебели, папок для документов и почтовых ящиков. Экономические затраты на подобную реформу оцениваются в миллиарды долларов.