Почему в году 365 (или 366) дней: математика календаря

Сколько на самом деле длится год

Календарный год из 365 дней — это округление, а не точная астрономическая величина. Настоящий промежуток времени, за который Земля возвращается в ту же точку относительно Солнца и цикл времён года повторяется заново, называется тропическим годом и равен 365,24219 суток. Лишние 0,24219 суток — это чуть меньше шести часов, и именно они на протяжении тысячелетий заставляли календарь то отставать от смены сезонов, то забегать вперёд. Если бы человечество просто считало год ровно в 365 дней, весенний день равноденствия за несколько столетий переехал бы на календаре в глубокую зиму: Земля продолжала бы обращаться вокруг Солнца строго по своему графику, а пронумерованные людьми даты постепенно разошлись бы с реальными сезонами.

Решение подсказывает сама арифметика: раз накопленный остаток за четыре года складывается почти в одни целые сутки (0,24219 умножить на четыре даёт 0,96876, совсем близко к единице), эту почти целую сутки выгодно добавлять в календарь отдельным днём раз в четыре года. Так появляется идея високосного года — года с дополнительным, 366-м днём, который время от времени выравнивает календарный счёт с реальным движением Земли вокруг Солнца.

Юлианское правило — плюс день раз в четыре года

Такой календарь ввёл Юлий Цезарь в 45 году до нашей эры, и с тех пор система получила название юлианской. Правило было предельно простым: три года подряд по 365 дней, а четвёртый — 366, с дополнительным днём в феврале. Средняя продолжительность года при таком счёте получается 365 плюс одна четвёртая, то есть 365,25 суток — уже заметно ближе к тропическому году, чем ровные 365, хотя ещё и не идеально. Разница между юлианским годом и тропическим годом составляет 365,25 минус 365,24219, то есть 0,00781 суток за каждый календарный год.

Ошибка в восемь тысячных доли суток кажется ничтожной, но она копится год за годом и никуда не исчезает. Разделив одни целые сутки на эту ежегодную ошибку — 1 делить на 0,00781, — получаем примерно 128 лет. Иными словами, каждые 128 лет юлианский календарь набирает лишние целые сутки расхождения с реальным движением Земли вокруг Солнца, и день весеннего равноденствия на календаре медленно, но верно сдвигается на более раннюю дату.

Как накопился разрыв в десять суток

Ранняя церковь привязала дату главного христианского праздника, Пасхи, к дню весеннего равноденствия, зафиксированному Никейским собором в 325 году нашей эры на 21 марта. Юлианский календарь на тот момент ещё неплохо совпадал с реальным движением Солнца, но каждые последующие 128 лет он предсказуемо убегал вперёд ещё на одни сутки. К 1582 году с момента Никейского собора прошло 1257 лет, а накопленное расхождение составило 1257 умножить на 0,00781, то есть примерно 9,8 суток — на практике эту цифру округлили до десяти суток. Настоящее весеннее равноденствие к концу XVI века наступало уже около 11 марта по календарю, на десять дней раньше официальной даты 21 марта, и церковные праздники понемногу расходились с астрономическими явлениями, для согласования с которыми их когда-то и высчитывали.

Реформа папы Григория XIII в 1582 году

Чтобы вернуть весеннее равноденствие обратно на 21 марта, папа Григорий XIII своим указом убрал из календаря десять суток разом. После четверга 4 октября 1582 года наступила сразу пятница 15 октября — даты с 5 по 14 октября 1582 года в календаре не существуют вовсе. Это разовая хирургическая правка, а не изменение самого правила счёта дней — она устранила уже накопившуюся ошибку, но сама по себе никак не защищала от появления новой ошибки в будущем.

Чтобы новая ошибка не набежала снова, реформа заодно поменяла само правило вычисления високосных лет, и именно это второе изменение — настоящая математическая часть григорианской реформы, гораздо более важная для будущего календаря, чем разовый скачок на десять суток.

Новое правило — почему 1900 обычный год, а 2000 високосный

Юлианское правило добавляло високосный день к каждому году, номер которого делится на 4 без остатка. Григорианская поправка исключает из этого списка годы, завершающие столетие, кроме тех случаев, когда их номер делится ещё и на 400. Год 1900 делится на 4 и на 100, но на 400 не делится, поэтому по григорианскому правилу он обычный, без 29 февраля. Год 2000 делится и на 4, и на 100, и на 400 одновременно, поэтому остаётся високосным, хотя формально тоже завершает столетие. Ровно так же устроены годы 2100, 2200 и 2300: по правилу деления на 4 они выглядят високосными, но исключение по правилу столетий делает их обычными, а вот 2400 год снова станет високосным, потому что делится на 400.

• год делится на 4 без остатка — кандидат в високосные
• из кандидатов исключают годы, которые целиком делятся на 100
• но возвращают в список те годы на 100, что делятся ещё и на 400
• 1700, 1800, 1900 и 2100 — годы конца века и при этом обычные
• 1600, 2000 и 2400 — тоже годы конца века, и при этом високосные

Собственная маленькая ошибка григорианского календаря

За 400 лет по новому правилу набирается 400 делить на 4 минус 400 делить на 100 плюс 400 делить на 400, то есть 100 минус 4 плюс 1 равно 97 високосных лет вместо прежних 100. Средняя продолжительность года получается 365 плюс 97, делённое на 400, а если расписать через дроби — 365 плюс одна четвёртая минус одна сотая плюс одна четырёхсотая, в сумме 365,2425 суток. Расхождение с тропическим годом теперь составляет всего 365,2425 минус 365,24219, то есть 0,00031 суток за год — ошибка почти в двадцать пять раз меньше юлианской. Разделив сутки на эту крошечную ежегодную неточность, получаем, что григорианский календарь накапливает одни лишние сутки расхождения только за 3226 лет вместо прежних 128. Идеальной точности он всё равно не даёт, но для практических нужд человечества запаса хватает с огромным избытком.

Как страны переходили на новый счёт дней

Реформу 1582 года сразу приняли католические страны — Испания, Португалия, большая часть Италии и Речь Посполитая. Протестантские и православные государства не спешили, отчасти по религиозным причинам, отчасти потому что смена календаря требовала пересчитывать документы, контракты и церковные праздники. Великобритания и её колонии перешли на григорианский счёт только в 1752 году, когда разница между календарями выросла уже до одиннадцати суток. Россия оставалась на юлианском календаре дольше почти всех крупных стран Европы — переход произошёл только в 1918 году декретом Совнаркома: после 31 января сразу наступило 14 февраля, с разницей ровно в тринадцать суток.

Разница между двумя календарями понемногу растёт с каждым пропущенным григорианским високосом. В XVII веке она составляла десять суток, в XVIII — одиннадцать, в XIX — двенадцать, а с 1900 по 2099 год держится на тринадцати сутках, потому что юлианский календарь по старому правилу всё равно считал 1900 год високосным, а григорианский — уже нет. В 2100 году, когда мимо очередного григорианского исключения пройдёт ещё один цикл, разрыв увеличится до четырнадцати суток.