Как Эратосфен измерил окружность Земли палкой

Геометрическая основа опыта

В основе вычислений Эратосфена лежит евклидова геометрия и свойства параллельных прямых. Солнце удалено от Земли на колоссальное расстояние, поэтому световые лучи, падающие на поверхность планеты в разных городах, физически параллельны друг другу. Если Земля имеет форму шара, то вертикальный шест в любой точке планеты выступает продолжением радиуса, проведённого из центра Земли через эту точку наружу.

Эратосфен сопоставил поведение солнечных лучей в двух пунктах, расположенных примерно на одном меридиане, в Александрии и Сиене (современный Асуан). В Сиене в полдень 21 или 22 июня, в день летнего солнцестояния, предметы не отбрасывали полуденной тени. Солнечный свет падал вертикально вниз и освещал дно самых глубоких колодцев. Это означало, что продолжение луча проходит прямо через центр планеты, а угол между лучом и вертикалью равен нулю.

В Александрии в тот же самый момент солнечные лучи падали под наклоном. Эратосфен установил вертикальный шест известной высоты и замерил тень на горизонтальной плоскости. Получился прямоугольный треугольник, где катетами служили высота шеста и длина тени. Отношение длины тени к высоте шеста позволило вычислить угол отклонения солнечных лучей от вертикали. Он составил примерно 7 градусов 12 минут, то есть ровно одну пятидесятую часть от полной окружности в 360 градусов.

Дальше сработала теорема о накрест лежащих углах при двух параллельных прямых и секущей. Одной параллельной прямой служил луч Солнца в Александрии, второй параллельной прямой был луч Солнца в Сиене. Секущей линией выступила прямая, проведённая из центра Земли через Александрию к вершине шеста. Из этого следовало, что центральный угол между радиусами Земли, проведёнными в Александрию и Сиену, в точности равен углу наклона солнечных лучей в Александрии. Расстояние между городами по дуге поверхности Земли составляло ту же самую одну пятидесятую долю от всей длины окружности планеты.

Инструменты античного учёного

В исторических пересказах прибор Эратосфена часто называют обычной палкой, воткнутой в песок, однако учёный руководил Александрийской библиотекой и пользовался специализированными астрономическими инструментами своего времени. Главным инструментом служил скафис. Скафис представлял собой полусферическую чашу, в центре которой строго вертикально закреплялась игла-гномон. Внутренняя поверхность чаши размечалась концентрическими круговыми делениями.

Полусферическая форма чаши существенно упрощала тригонометрические расчёты. Тень от вершины острия падала на изогнутое дно полусферы, и длина дуги этой тени сразу показывала угол отклонения светила в долях окружности без необходимости вычислять арктангенсы на плоскости. Деления на скафисе делили полусферу на доли, что позволило Эратосфену сразу зафиксировать значение угла в одну пятидесятую окружности.

Измерение расстояния между городами

Главной практической трудностью стало вычисление линейного расстояния между Сиеной и Александрией. Измерить дугу окружности в градусах оказалось гораздо проще, чем перевести её в реальные меры длины на местности. В античном Египте эту задачу решали специально обученные люди, бематисты или шагомеры. Они проходили торговые тракты выверенным размеренным шагом и вели строгий учёт расстояний для сбора налогов, прокладки дорог и составления военных карт.

Бематисты определили расстояние от Александрии до Сиены примерно в 5000 египетских стадиев. Дополнительным источником служили купеческие караваны, время перехода которых на верблюдах протоколировалось годами. Верблюд идёт по пустыне с исключительно стабильной скоростью, поэтому подсчёт дней пути давал близкую к реальности оценку расстояния.

Математический расчёт и точность результата

Имея на руках две величины, Эратосфен выполнил базовое арифметическое действие. Если одна пятидесятая часть земного круга равна 5000 стадиев, то полная длина окружности Земли составляет 5000 умножить на 50, что даёт 250 000 стадиев. Позже учёный скорректировал это число до 252 000 стадиев. Сделано это было для удобства дальнейших делений, поскольку 252 000 нацело делится на 360 градусов и даёт красивое круглое число в 700 стадиев на один градус меридиана.

Главный спор современных историков науки связан с тем, какой именно стадий использовал Эратосфен. В античности не существовало единой метрической системы, и длина стадия варьировалась в зависимости от региона:

• Египетский стадий равнялся примерно 157,5 метра, и при его использовании окружность Земли составляет 39 690 километров;
• Греческий (олимпийский) стадий составлял около 176,4 метра, что даёт длину окружности около 44 450 километров;
• Аттический или римский стадий насчитывал 185 метров, давая результат свыше 46 000 километров.

Большинство исследователей сходятся во мнении, что Эратосфен, работавший в Египте и опиравшийся на измерения египетских землемеров, считал именно в египетских стадиях по 157,5 метра. В таком случае полученные им 39 690 километров поразительно близки к истинному меридиональному охвату Земли, который составляет 40 008 километров. Погрешность расчёта составила меньше одного процента.

Почему древние греки знали о шарообразности Земли

В школьных учебниках иногда встречается миф о том, что до Колумба человечество поголовно верило в плоскую Землю. В античной науке шарообразность Земли считалась общепринятым фактом ещё за два столетия до Эратосфена. Пифагор высказал эту гипотезу из соображений геометрической гармонии, а Аристотель привёл строгие физические и астрономические доказательства.

Аристотель обратил внимание на форму земной тени во время лунных затмений. Луна погружается в тень Земли под разными углами, и край этой тени всегда остаётся идеально круглым. Единственное геометрическое тело, дающее круглую тень при освещении с любого направления, является шар. Вторым доказательством служило поведение звёздного неба при путешествиях на юг. В Александрии над горизонтом поднимались созвездия, которые оставались невидимыми в Афинах или на Чёрном море, что невозможно на плоской поверхности.