Как математики открыли отрицательные числа: путь от долгов до координат

Долг как число — счётные палочки Древнего Китая

Древние китайские математики решали уравнения на разграфлённой доске при помощи счётных палочек, и уже в трактате «Математика в девяти книгах», сложившемся к рубежу нашей эры, встречаются чёткие правила действий с долгами наравне с имуществом. Положительные величины — прибыль, остаток зерна на складе, лишний отрез ткани — выкладывали палочками красного цвета. Отрицательные величины, то есть долги и недостачи, выкладывали палочками чёрного цвета. Складывая и вычитая палочки двух цветов, писец получал итог хозяйственного подсчёта без единого специального знака вроде плюса или минуса — сам цвет палочки уже нёс в себе нужный смысл.

Для древнего чиновника, который весь день сводил амбарные книги, такая система была совершенно естественной: долг — это такая же измеримая величина, как и имущество, просто направленная в противоположную сторону. Комментатор Лю Хуэй в III веке нашей эры подробно разобрал эти правила и прямо объяснил, что складывать нужно палочки одного цвета по отдельности, а разноцветные — вычитать друг из друга, получая в итоге цвет большей величины. Это готовые правила арифметики отрицательных чисел, только выраженные цветом расчётных палочек на доске вместо привычных букв и знаков.

Брахмагупта — долг, имущество и правила для нуля

Индийский математик и астроном Брахмагупта пошёл на шаг дальше китайских предшественников. В своём трактате «Брахмаспхутасиддханта», написанном в 628 году, он использовал отрицательные величины при расчётах и сформулировал для них полноценные словесные правила арифметики, включая действия с нулём — редкость для математики того времени в любой части света. Положительные числа он называл имуществом, отрицательные — долгом, и записал примерно такие формулировки: сумма двух имуществ есть имущество, сумма двух долгов есть долг, а долг, вычтенный из нуля, превращается в имущество.

Эти формулировки выглядят непривычно для современного читателя, привыкшего к знакам плюс и минус, но по содержанию совпадают с тем, что сегодня проходят в школе под видом сложения и вычитания целых чисел. Брахмагупта также допускал, что квадратное уравнение способно иметь отрицательный корень, и не отбрасывал такой ответ как ошибку вычислений — для него долг оставался таким же законным числовым результатом, как и прибыль.

Средневековая Европа — цифры, которые называли ложными

В европейскую математику отрицательные величины проникали медленнее и куда более настороженно. Одним из первых, кто допустил отрицательный результат в финансовых расчётах, стал итальянец Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи: уже в начале XIII века в его вычислениях, связанных с прибылью и убытком, встречается признание отрицательного итога как обозначения потери. Однако это была скорее практическая уступка бухгалтерии, а не признание отрицательных чисел полноценными объектами математики наравне с обычными.

Причина многовекового сопротивления коренилась в самом понимании числа, унаследованном от античной геометрии. Для греческих и большинства средневековых математиков число измеряло длину отрезка, площадь фигуры или количество предметов, а у длины и количества попросту не может быть значения меньше нуля. Уравнение, которое давало отрицательный корень, воспринималось как признак ошибки в постановке задачи, и такие корни либо отбрасывали, либо переформулировали саму задачу так, чтобы неудобного ответа не возникало вовсе.

Штифель и его «абсурдные числа»

Заметный шаг вперёд сделал немецкий математик Михаэль Штифель в книге «Arithmetica Integra», изданной в 1544 году. Он одним из первых дал числам меньше нуля чёткое определение через сравнение с нулём и стал работать с ними по общим арифметическим правилам наравне с положительными числами. При этом сам Штифель называл такие числа numeri absurdi, что переводится как абсурдные или фиктивные числа, поскольку получал их, вычитая из ничего некоторое реальное количество, — само название выдавало сохранявшееся недоверие даже у автора, который активно ими пользовался.

Такой парадокс — пользоваться инструментом и одновременно сомневаться в его законности — типичен для математики переходных эпох. Отрицательные числа уже давали верные ответы в задачах о торговле, долгах и балансах, правила действий с ними уже были расписаны на бумаге, но философский вопрос, какую именно реальность они описывают, оставался открытым ещё почти два столетия.

Декарт — ложные корни и рождение координатной оси

Французский философ и математик Рене Декарт в трактате «Геометрия», вышедшем в 1637 году, называл отрицательные корни уравнений ложными — по-французски racines fausses. Латынь в XVII веке оставалась привычным языком учёных сочинений, но Декарт демонстративно написал «Геометрию» на родном французском, чтобы сделать её доступнее широкому кругу образованных читателей. С точки зрения Декарта ложный корень означал скорее техническую особенность уравнения, лишённую содержательного смысла для реальной геометрической фигуры, которую это уравнение описывало, а не настоящее решение задачи.

При этом именно в той же «Геометрии» Декарт предложил метод, который парадоксальным образом подготовил полное признание отрицательных чисел, — метод координат. На числовой прямой он откладывал положительные значения вправо от начальной точки, а отрицательные значения влево, связав тем самым знак числа с направлением на плоскости. Как только у минуса появилось наглядное геометрическое место на чертеже, отвергать отрицательные числа как бессмысленные стало гораздо труднее: у них появился зримый дом на числовой оси, а не только строчка в таблице бухгалтера.

От оси до полноправного числа

К XVIII веку правила арифметических действий с отрицательными числами уже применяли повсеместно и без особых споров: их складывали, вычитали, умножали и делили по тем же законам, что и положительные. Оставался при этом вопрос более философский, чем практический, — какой реальности отвечают эти числа и можно ли их вообще считать полноценными количествами. Строгий ответ на этот вопрос математика получила позже, когда отрицательные числа заняли своё формальное место в общей системе построения числовых множеств, где каждое число определяется точными математическими свойствами и отношениями внутри самой системы, а не образом долга или отрезка.

Путь получился долгим: от красных и чёрных палочек на китайской счётной доске второго века до нашей эры, через строгие индийские правила VII века и подозрительные абсурдные числа Штифеля, до координатной оси Декарта и Валлиса. Каждый шаг решал свою практическую задачу — свести баланс, найти корень уравнения, отметить точку на чертеже, — и только сумма этих шагов привела к тому знаку минус, который сегодня школьник ставит перед числом не задумываясь.