Как посчитать объём снежка: интегралы в реальной жизни

Зачем вообще интегрировать, чтобы найти объём шара

У куба или прямоугольного бруска объём находят прямым умножением трёх измерений — длины на ширину на высоту, потому что у такой фигуры все сечения одинаковы по форме и размеру. У шара всё иначе: если резать его параллельными срезами, каждый новый срез будет кругом другого диаметра — самый большой круг ровно посередине, а к полюсам круги стремительно сужаются до точки. Простое умножение здесь не работает, ведь нет одной универсальной ширины или высоты, на которую можно было бы всё умножить. Именно для таких фигур с непрерывно меняющимся сечением математический анализ предлагает интегрирование — способ сложить бесконечно много бесконечно тонких кусочков и получить точный итоговый объём.

Диски, из которых складывается шар

Представим шар радиусом r, установленный так, что его центр совпадает с нулём на числовой оси, а сама ось проходит через оба полюса. Разрежем шар на множество тонких дисков толщиной dx, перпендикулярных этой оси. Диск, вырезанный на расстоянии x от центра, имеет радиус, который находится из уравнения окружности — квадратный корень из r в квадрате минус x в квадрате. Площадь круглого диска равна пи умножить на квадрат его радиуса, то есть пи умножить на разницу r в квадрате и x в квадрате, а объём этого тонкого диска — его площадь, умноженная на толщину dx.

Чтобы получить полный объём шара, нужно сложить объёмы всех таких дисков от одного полюса до другого, то есть проинтегрировать площадь по x в пределах от минус r до плюс r. После вычисления этого интеграла — стандартного упражнения на первом курсе математического анализа — множители сокращаются, и остаётся ровно четыре трети пи эр в кубе. Это и есть привычная школьная формула объёма шара, только теперь с понятным происхождением: она получена прямым суммированием бесконечно тонких срезов, а не взята с потолка.

Проверка формулы — численный расчёт и готовая формула сходятся

Формулу несложно проверить прямым вычислением на компьютере, а не только запомнить со школьного курса. Для шара радиусом в одну условную единицу программа разбила объём на двести тысяч тонких дисков, посчитала объём каждого по описанному выше правилу и сложила все кусочки — результат составил 4,188790. Формула четыре трети пи эр в кубе для того же радиуса даёт то же самое число, 4,188790. Расхождение между численным суммированием и готовой формулой в этом расчёте оказалось меньше одной миллионной доли, то есть практически нулевым — расчёт подтверждает формулу напрямую, а не только по памяти со школы.

От диаметра снежка до кубических сантиметров

На практике снежок проще измерить рулеткой поперёк, то есть найти диаметр, а радиус потом получить делением диаметра на два. Дальше в дело идёт та же формула объёма шара — четыре трети умножить на число пи и на радиус в кубе. Снежок диаметром 5 сантиметров, то есть радиусом 2,5 сантиметра, занимает объём около 65,4 кубического сантиметра, или 0,065 литра. Снежок диаметром 10 сантиметров, уже размером с крупный апельсин, занимает 523,6 кубического сантиметра, то есть чуть больше половины литра. А снежок диаметром 20 сантиметров, размером почти с голову снеговика, занимает уже 4188,8 кубического сантиметра, то есть чуть больше четырёх литров, хотя в диаметре он всего вчетверо больше самого маленького снежка из примера.

• диаметр 5 см, радиус 2,5 см — объём 65,4 см³, это 0,065 литра
• диаметр 8 см, радиус 4 см — объём 268,1 см³, это 0,268 литра
• диаметр 10 см, радиус 5 см — объём 523,6 см³, это 0,524 литра
• диаметр 15 см, радиус 7,5 см — объём 1767,1 см³, это 1,767 литра
• диаметр 20 см, радиус 10 см — объём 4188,8 см³, это 4,189 литра

Сколько это весит — важна плотность снега

Объём — это ещё не вес. Одинаковый по размеру снежок из рыхлого свежевыпавшего снега и из мокрого слежавшегося снега весит совершенно по-разному, потому что плотность снега сильно колеблется. Свежий пушистый снег сразу после снегопада имеет плотность около 100 килограммов на кубический метр, то есть 0,1 грамма на кубический сантиметр — очень лёгкий, воздушный материал, почти пена. Мокрый уплотнённый снег, из которого как раз удобно лепить снежки и снеговиков, гораздо плотнее — около 300-500 килограммов на кубический метр, то есть 0,3-0,5 грамма на кубический сантиметр, а иногда и больше.

Чтобы получить массу снежка, объём в кубических сантиметрах умножают на плотность в граммах на кубический сантиметр. Для снежка диаметром 10 сантиметров и объёмом 523,6 кубического сантиметра из рыхлого свежего снега получится масса около 52 граммов, а из плотного мокрого снега — уже около 209 граммов при том же самом размере.

1. снежок 8 см — из рыхлого снега около 27 г, из плотного мокрого снега около 107 г
2. снежок 10 см — из рыхлого снега около 52 г, из плотного мокрого снега около 209 г
3. снежок 15 см — из рыхлого снега около 177 г, из плотного мокрого снега около 707 г
4. снежок 20 см — из рыхлого снега около 419 г, из плотного мокрого снега около 1676 г

Почему один и тот же снежок весит по-разному в разные дни

Разница в три-пять раз между рыхлым и плотным снегом объясняет, почему снежок в морозный сухой день лёгкий и рассыпчатый, а в оттепель — тяжёлый и плотный, будто внутри спрятан лёд. Строители снежных крепостей интуитивно учитывают этот эффект: для прочной снежной стены нужен именно плотный, слегка подтаявший снег, потому что он держит форму и весит значительно больше рыхлого при том же объёме. Формула объёма шара в обоих случаях остаётся одной и той же — меняется только плотность, которую в неё подставляют при переводе кубических сантиметров в граммы.