Как измерить высоту дерева без линейки: метод подобия треугольников

Геометрический принцип метода

В основе каждого из этих полевых способов лежит признак подобия треугольников по двум углам. Если два прямоугольных треугольника имеют равные острые углы, то их стороны пропорциональны друг другу. Дерево растет вертикально вверх относительно горизонтальной поверхности земли, образуя прямой угол между стволом и почвой. Вертикально поставленный шест или стоящий человек создают второй катет в аналогичной системе координат.

Острый угол задается направлением светового луча или лучом зрения наблюдателя. Параллельные солнечные лучи падают на землю под одним и тем же углом на всем открытом участке поляны. Из-за этого треугольник, образованный стволом дерева, его тенью и лучом света от верхушки, строго подобен треугольнику из вспомогательного шеста, его тени и солнечного луча.

Отношение высоты дерева к длине его тени равно отношению высоты ориентира к длине тени этого ориентира. Зная длину собственной тени и свой точный рост, исследователь получает три известных параметра из четырех. Оставшийся неизвестный катет вычисляется через базовое алгебраическое уравнение первого порядка.

Измерение по длине солнечной тени

Этот метод считается классическим со времен античности. По преданию, древнегреческий ученый Фалес Милетский в шестом веке до нашей эры вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса именно по длине ее тени, дождавшись момента, когда длина тени вертикального шеста сравнялась с его собственной высотой. В геодезии и прикладной математике ждать полудня или момента равенства катетов не требуется, поскольку расчет работает при любом положении солнца над горизонтом.

Для проведения замера понадобятся любой шест или прямая палка известной длины, а также короткая рулетка, складной метр или мерный шнур с узелками через каждый дециметр. Если под рукой нет мерной ленты, расстояние на земле измеряют шагами, предварительно переведя среднюю длину своего шага в сантиметры.

1. Шест устанавливают вертикально в грунт на ровном и освещенном участке рядом с деревом с помощью отвеса или строительного уровня.
2. Измеряют видимую часть шеста от поверхности грунта до верхнего кончика.
3. Фиксируют длину тени, отбрасываемой шестом на землю, от основания до кончика верхушки.
4. Находят край тени от верхушки дерева и замеряют расстояние от этой точки до центра основания ствола.
5. Составляют расчетную пропорцию.

Если обозначить высоту дерева через H, длину тени дерева через L, высоту шеста через h, а длину тени шеста через l, соотношение сторон выглядит как H разделить на L равно h разделить на l. Высота дерева вычисляется по формуле H равно произведению длины тени дерева L и высоты шеста h, деленному на длину тени шеста l.

Способ с зеркалом в пасмурную погоду

В пасмурный день тени на земле размыты или отсутствуют полностью. В таких условиях треугольники строят с помощью закона отражения света, согласно которому угол падения луча равен углу отражения. Зеркало кладут горизонтально на землю между деревом и наблюдателем отражающей поверхностью вверх.

Наблюдатель отходит назад по прямой линии, соединяющей дерево и зеркало, пока в центре зеркала не покажется отражение самой верхней точки кроны. Луч света от верхушки дерева падает на зеркальную гладь под углом альфа и отражается в глаз человека под тем же углом альфа к плоскости земли.

В результате образуются два прямоугольных треугольника с равными углами. Первый сформирован высотой дерева и расстоянием от ствола до зеркала. Второй сформирован расстоянием от зеркала до ступней наблюдателя и высотой от земли до уровня глаз человека. Расчет выполняется по той же формуле подобия.

Способ визирования с помощью вертикальной палки

Если нет ни солнца, ни карманного зеркала, подобие создают прямо перед глазом наблюдателя. Для этого берут ровную палочку и держат ее вертикально в вытянутой руке. Палочку подбирают или обламывают так, чтобы ее видимая длина над сжатым кулаком была строго равна расстоянию от кулака до глаза исследователя.

При таком равенстве плеча руки и длины палочки прямоугольный треугольник в руках становится равнобедренным, а угол визирования равняется сорока пяти градусам. Наблюдатель отходит от дерева назад или подходит ближе, удерживая палку строго вертикально, пока нижний край палочки над кулаком не совместится с основанием ствола, а верхний кончик — с верхушкой дерева.

Поскольку треугольник перед глазом равнобедренный, большой треугольник с катетами из ствола и расстояния до дерева тоже оказывается равнобедренным. Высота дерева будет равна расстоянию от человека до ствола плюс высота от земли до уровня глаз наблюдателя.

Источники погрешностей при полевых замерах

Точность полевых геометрических способов обычно составляет от пяти до пятнадцати процентов. Ошибки накапливаются из-за несовершенства рельефа, наклона ствола и оптических искажений.

• Уклон грунта нарушает прямоугольность треугольников, поскольку горизонт заваливается вверх или вниз по склону.
• Отклонение визирной рейки от вертикали даже на пять градусов искажает расчетную длину катета на три-пять процентов.
• Куполообразная или раскидистая форма кроны маскирует истинную верхушку дерева, заставляя наблюдателя визировать ближние боковые ветви.
• Неровности почвы и высокая трава скрадывают границу полутени, размывая точку окончания проекции.
• Движение солнца по небосводу за время длинных шаговых промеров смещает край тени на несколько десятков сантиметров.