Как математики считают площадь под графиком до изобретения интегралов

Античный фундамент и метод исчерпывания

Первую строгую процедуру для вычисления площадей криволинейных фигур разработал древнегреческий математик Евдокс Книдский в IV веке до нашей эры, а до совершенства ее довел Архимед. Этот подход получил название метода исчерпывания. В его основе лежала простая геометрическая идея. Если внутрь криволинейной фигуры вписывать правильные многоугольники, постепенно удваивая число их сторон, разность между площадью фигуры и площадью многоугольника станет меньше любой наперед заданной величины.

Древние греки не использовали понятие предела и избегали актуальной бесконечности. Чтобы доказать точное равенство площади определенному числу, Архимед пользовался двойным доказательством от противного. Сначала он доказывал, что площадь искомой фигуры не может быть строго больше предполагаемого значения, так как тогда разность исчерпалась бы вписанными фигурами. Затем доказывал, что площадь не может быть меньше этого значения, используя описанные фигуры. Из двух исключений следовало строгое равенство.

Как Архимед посчитал параболический сегмент

Самый знаменитый пример доинтегрального вычисления площади под графиком описан Архимедом в трактате «Квадратура параболы» около 250 года до нашей эры. Архимед искал площадь сегмента, отсекаемого от параболы прямой хордой. Для этого он построил цепочку вписанных треугольников специального вида.

1. Сначала внутри сегмента строится главный треугольник с тем же основанием, вершина которого находится в точке, где касательная к параболе параллельна основанию.
2. Затем на двух оставшихся по бокам меньших сегментах тем же способом строятся два новых треугольника.
3. Архимед чисто геометрически доказал, что площадь каждого нового треугольника ровно в восемь раз меньше площади предыдущего, то есть суммарная площадь двух новых треугольников равна одной четверти площади первого треугольника.
4. На следующем шаге в четыре новых боковых сегмента вписываются четыре треугольника, суммарная площадь которых составляет одну шестнадцатую часть базовой площади.
5. Суммирование бесконечного ряда площадей со знаменателем одна четвертая дает строго четыре третьих площади исходного базового треугольника.

Эпоха Возрождения и метод неделимых Кавальери

В XVII веке интерес к расчету объемов и площадей вспыхнул с новой силой из-за задач баллистики, астрономии и картографии. Метод исчерпывания Архимеда был безупречно строгим, но требовал колоссальных усилий и индивидуального геометрического трюка под каждую новую кривую. В 1635 году итальянский математик Бонавентура Кавальери предложил смелую альтернативу, выпустив труд «Геометрия неделимых».

Кавальери представил плоскую фигуру как плотную стопку параллельных одномерных отрезков бесконечно малой толщины, которые он назвал неделимыми. Объемные тела мыслились им как стопки бесконечно тонких плоских сечений, подобно стопке листов бумаги в книге. Знаменитый принцип Кавальери гласит: если у двух плоских фигур линии пересечения с любой прямой из семейства параллельных прямых имеют равную длину, площади этих фигур одинаковы.

С помощью этого принципа математики научились сравнивать сложные криволинейные фигуры с треугольниками или конусами. Например, чтобы найти площадь под параболой y = x², Кавальери сравнивал набор отрезков x² с сечениями кругового конуса или пирамиды. Поскольку объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, площадь под параболой оказалась равной одной трети площади описывающего ее прямоугольника.

Прорыв Пьера Ферма и геометрические прогрессии

Французский математик Пьер Ферма в 1630–1640 годах продвинулся еще ближе к современному интегралу, научившись находить площадь под кривыми вида y = x^k для любых рациональных показателей степени k, кроме минус единицы. Его метод квадратур предвосхитил интегральную сумму Римана, но содержал остроумный обходной маневр.

Если разбивать отрезок интегрирования на равные части, как это делают в современных учебниках математического анализа, приходится суммировать степени натуральных чисел, что для высоких степеней упирается в громоздкие формулы. Ферма поступил иначе: он разбил ось координат на точки, координаты которых образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем меньше единицы.

Площадь каждого полученного прямоугольника выражалась через члены прогрессии, а их сумма легко вычислялась по формуле суммы геометрической прогрессии. Затем Ферма устремлял знаменатель прогрессии к единице. Ширина всех прямоугольников одновременно стремилась к нулю, и в результате вычислений возникала точная дробь 1/(k + 1), совпадающая с результатом табличного интегрирования степенной функции.