Что вообще значит «замостить плоскость»

Замощение — это покрытие плоскости одинаковыми плитками одной формы так, чтобы между ними не осталось щелей и плитки нигде не налезали друг на друга. Паркетная доска, кафель в ванной, пчелиные соты, брусчатка на площади — всё это примеры замощения плоскости повторяющимся элементом. Ключевое условие в каждой точке, где сходятся углы нескольких плиток, — сумма этих углов обязана дать ровно 360 градусов, иначе в стыке появится либо щель, либо наложение.

Почему у одних правильных многоугольников замощение получается, а у других нет

Среди правильных многоугольников плоскость самостоятельно замощают всего три фигуры. Треугольник с углом 60 градусов укладывается вокруг точки ровно шесть раз: 60 умножить на 6 равно 360. Квадрат с углом 90 градусов сходится в точке вчетвером: 90 умножить на 4 равно 360. Правильный шестиугольник с углом 120 градусов встречается втроём: 120 умножить на 3 равно 360 — эта геометрия и стоит за формой пчелиных сот. У правильного пятиугольника с его 108 градусами такой ровный счёт не выходит ни при каком целом числе плиток вокруг точки.

Неправильные пятиугольники — совсем другая история

Запрет касается только правильного, то есть равностороннего и равноугольного пятиугольника с одинаковыми 108-градусными углами на каждой вершине. У выпуклого пятиугольника произвольной формы все пять углов разные, а их общая сумма всё равно обязана составлять 540 градусов — это свойство любого пятиугольника, правильного или нет. Из пяти разных по величине углов можно набрать 360 градусов в точке стыка гораздо гибче, чем из пяти одинаковых: например, комбинируя в одной вершине углы от двух, трёх или четырёх разных копий пятиугольника. Именно эта гибкость и открывает дорогу к замощению неправильными пятиугольниками там, где правильный терпит неудачу.

Столетняя охота за типами замощающих пятиугольников

Первым эту задачу решил немецкий математик Карл Райнхардт в 1918 году, найдя сразу пять разных типов выпуклых пятиугольников, способных замостить плоскость. Полвека спустя, в 1968-м, американец Ричард Кершнер добавил к списку ещё три типа, доведя счёт до восьми, и объявил список полным — но ошибся. Уже в 1975 году, прочитав о результатах Кершнера в популярной колонке журнала Scientific American, студент Ричард Джеймс нашёл девятый по счёту тип.

В 1985 году к списку добавился ещё один, четырнадцатый тип, найденный математиком-любителем Рольфом Штайном. После этого поиски новых типов застопорились на три десятилетия — казалось, что пятнадцать типов и есть окончательный результат, но доказательства этому факту всё ещё не было.

Пятнадцатый тип и точка в вековом вопросе

В 2015 году команда математиков из университета штата Вашингтон в кампусе Ботелл — Кейси Манн, Дженнифер Маклауд-Манн и Дэвид фон Дерау — с помощью компьютерного перебора нашла пятнадцатый тип выпуклого пятиугольника, замощающего плоскость. Открытие вновь всколыхнуло интерес к задаче, которой к тому моменту было уже почти сто лет.

Точку в вопросе поставил в 2017 году французский математик Микаэль Рао. Его компьютерное доказательство перебрало 371 возможный сценарий того, как углы пятиугольников могут сходиться в вершинах замощения, и для каждого сценария проверило, существует ли рабочее решение. Результат оказался однозначным: только 15 известных семейств пятиугольников способны замостить плоскость, и других не существует. Надёжность доказательства публично подтвердил авторитетный специалист в этой области математики Томас Хейлз, хотя формальная публикация в рецензируемом журнале на тот момент ещё продолжалась.

Где такие замощения встречаются в жизни

Каирское пятиугольное замощение, собранное из неправильных пятиугольников особого вида, получило своё название не случайно — именно такой рисунок десятилетиями укладывают на мостовых и тротуарах египетской столицы. В 1999 году один из типов Марджори Райс превратился в настоящую керамическую плитку, которой выложили пол фойе в штаб-квартире Математической ассоциации Америки — редкий случай, когда любительское геометрическое открытие буквально легло под ноги профессиональным математикам.

Частые вопросы

Почему пчелиные соты шестиугольные, а не пятиугольные?

Правильный шестиугольник с углом 120 градусов укладывается вокруг точки ровно три раза без остатка, и вдобавок при равной площади ячейки расходует меньше воскового материала на стенки, чем другие подходящие формы. У правильного пятиугольника ни то, ни другое условие не выполняется.

Насколько надёжно доказательство Микаэля Рао о ровно 15 типах?

Доказательство компьютерное и перебирает конечное число сценариев схождения углов в вершине — 371 вариант, — поэтому в принципе проверяемо другими математиками. Специалисты вроде Томаса Хейлза публично подтвердили его корректность, хотя формальная процедура рецензирования растянулась на годы после публикации.

Чем неправильный пятиугольник отличается от правильного в этой задаче?

У правильного пятиугольника все пять углов одинаковы и равны 108 градусам, что не позволяет набрать ровно 360 градусов в вершине замощения. У неправильного пятиугольника углы разные, и их можно комбинировать в стыке гораздо гибче, поэтому именно неправильные пятиугольники и вошли во все 15 известных типов.

Можно ли увидеть пятиугольное замощение вживую, а не только в учебнике?

Да — каирский пятиугольный узор столетиями используют для мощения улиц в одноимённом городе, а один из типов Марджори Райс с 1999 года лежит на полу штаб-квартиры Математической ассоциации Америки в виде керамической плитки.