Как математика предсказывает пробки: теория очередей на дорогах

Наука, которая считает очереди

Теорию очередей в 1909 году предложил датский математик Агнер Эрланг, сотрудник Копенгагенской телефонной компании. Он рассчитывал, сколько линий нужно городской станции, чтобы абоненты не ждали свободного канала подолгу. Столетие спустя те же формулы почти без изменений перекочевали в транспортные расчёты: вместо звонков в них фигурируют машины, вместо телефонной линии — полоса дороги, перекрёсток или кабина оплаты проезда. Любой участок, где поток сужается, работает как обслуживающее устройство с ограниченной скоростью пропуска, и лишние машины при перегрузке копятся в очереди.

Смысл модели простой. Если машины подъезжают к узкому месту реже, чем оно успевает их отпускать, очередь почти не образуется — редкие всплески потока быстро рассасываются сами. Стоит потоку сравняться с пропускной способностью участка, любая случайная пауза между машинами перестаёт помогать, а задержки начинают копиться быстрее, чем исчезать. Дальше в игру вступает конкретное число — отношение этих двух величин, которое в теории очередей называют загрузкой системы.

Интенсивность потока и пропускная способность

Интенсивность потока — это количество машин, которые в среднем прибывают к участку за единицу времени, например за минуту. Пропускная способность — предел, сколько машин участок способен обслужить и отпустить дальше за то же время. Она зависит от ширины проезжей части, длительности зелёного сигнала на светофоре, скорости слияния на въезде и десятка похожих технических параметров. Отношение первой величины ко второй в математике обозначают буквой ро и называют загрузкой, или коэффициентом использования системы.

Пока загрузка меньше единицы, участок в среднем справляется с потоком: очередь то появляется, то рассасывается, а среднее время ожидания остаётся небольшим. Как только загрузка достигает единицы или превышает её, участок больше не успевает обслуживать всех желающих, и очередь растёт без остановки, пока поток не спадёт сам — например, к вечеру, когда час пик заканчивается.

• Ширина проезжей части и число открытых полос движения.
• Длительность разрешающего сигнала светофора в цикле.
• Скорость и плавность слияния потоков на въезде или развязке.
• Доля тяжёлого транспорта в потоке — грузовики разгоняются и тормозят медленнее легковых машин.
• Погодные условия и видимость, из-за которых водители увеличивают дистанцию.

Почему очередь растёт нелинейно у самого предела

Интуиция подсказывает, что при росте загрузки с 50 до 90 процентов задержка вырастет примерно вдвое. На практике она увеличивается в разы, а у самого предела — в десятки раз, потому что в формуле теории очередей загрузка стоит в знаменателе вида «единица минус ро». Когда загрузка невелика, этот знаменатель близок к единице и почти не влияет на результат. Когда загрузка приближается к единице, знаменатель стремится к нулю, а вся дробь — к бесконечности.

Фантомные пробки и волны торможения

Иногда затор возникает без всякой видимой причины: ни аварии, ни ремонта, ни сузившейся дороги — просто плотный поток на ровной трассе вдруг встаёт колом, а через несколько минут снова трогается. Такие заторы называют фантомными. Они возникают из-за того, что каждый водитель реагирует на торможение переднего автомобиля с небольшой задержкой и чуть сильнее, чем требовалось. Одна случайная заминка усиливается от машины к машине и превращается в волну торможения, которая катится назад по потоку, будто медленная рябь по воде.

Отсюда практический вывод для водителя. Резкое торможение просто на всякий случай усиливает волну для всех, кто едет сзади, а плавное поддержание дистанции и скорости, напротив, гасит её. На загруженных трассах разница между агрессивным и ровным стилем вождения проявляется в том, насколько быстро рассосётся затор позади, а собственная скорость водителя от этого почти не меняется.

Как инженеры используют эту математику

Городские службы применяют теорию очередей ради конкретных инженерных решений, а не для красивых графиков. Адаптивные светофоры меняют длительность зелёного сигнала по данным датчиков потока в реальном времени, стараясь удержать загрузку перекрёстка подальше от критической единицы. На въездах на скоростные магистрали работает рамп-метеринг — светофоры-дозаторы, которые пропускают машины с примыкающей дороги небольшими порциями, чтобы не разогнать загрузку основной трассы к предельному значению разом.

• Адаптивное регулирование сигналов светофора по данным датчиков потока.
• Дозирующие светофоры на въездах — рамп-метеринг, ограничивающий приток машин на магистраль.
• Реверсивные и выделенные полосы, перераспределяющие пропускную способность по направлению основного потока.
• Платный проезд в часы пик, снижающий интенсивность потока там, где расширить дорогу физически нельзя.

Общий принцип у всех этих мер один: удержать загрузку участка заметно ниже единицы, потому что выигрыш в пропускной способности у самого предела ничтожен, а проигрыш в задержке огромен. Инженеру выгоднее пропустить чуть меньше машин в час, но держать поток стабильным, чем гнаться за максимумом и получить затор, который стоит дороже сэкономленных минут.

Где у модели заканчивается точность

Классическая формула теории очередей предполагает, что машины прибывают к участку случайно и независимо друг от друга — так называемый пуассоновский поток. Реальное движение ведёт себя так не всегда: в час пик машины сбиваются в плотные группы за светофорами, а между группами тянутся пустые промежутки. Модель также не учитывает аварии, дорожные работы, гололёд и десятки других факторов, которые в реальности меняют пропускную способность участка от минуты к минуте.

Именно поэтому инженеры используют простую формулу как первое приближение, а точные расчёты для конкретной развязки делают на компьютерных симуляциях, которые проигрывают движение отдельных машин заново тысячи раз с разными случайными числами. Общая идея остаётся прежней: очередь резко растёт вблизи предела пропускной способности. Но точные цифры для реальной дороги симуляция даёт куда надёжнее, чем формула на бумаге.