Как посчитать, сколько раз за сутки пересекаются часовая и минутная стрелки

Почему ответ «24 раза» не работает

Кажется естественным, что если в сутках 24 часа, то стрелки должны сходиться 24 раза, по разу в час. Эта логика была бы верна, если бы часовая стрелка стояла на месте, а двигалась только минутная. На самом деле обе стрелки движутся непрерывно, просто с разной скоростью, и часовая всё время немного смещается вперёд относительно того положения, в котором она была час назад.

За 12 часов минутная стрелка совершает ровно 12 полных оборотов по циферблату, а часовая совершает только один. Разница между ними за эти 12 часов составляет 11 оборотов, и именно столько раз стрелки успевают поравняться: не 12, а 11. За сутки, то есть за два оборота часовой стрелки по кругу, совпадений набирается вдвое больше — 22.

Как вывести точный интервал между совпадениями

Удобно измерять скорость стрелок в градусах в минуту. Минутная стрелка проходит весь циферблат, 360 градусов, за 60 минут, то есть 6 градусов в минуту. Часовая стрелка за 12 часов, то есть за 720 минут, тоже проходит 360 градусов, но гораздо медленнее — 0,5 градуса в минуту. Разница скоростей составляет 5,5 градуса в минуту: именно на столько минутная стрелка обгоняет часовую с каждой минутой.

• Минутная стрелка — 6 градусов в минуту, полный круг за 60 минут.
• Часовая стрелка — 0,5 градуса в минуту, полный круг за 720 минут.
• Разница скоростей — 5,5 градуса в минуту, на которую минутная стрелка обгоняет часовую каждую минуту.

Чтобы догнать часовую стрелку и снова поравняться с ней, минутной нужно выиграть ровно 360 градусов преимущества с нуля. Время на это находится делением полного круга на разницу скоростей: 360, делённое на 5,5, даёт 65 целых и 5/11 минуты. В виде обыкновенной дроби это 720/11 минуты — запись куда более точная и удобная для дальнейших расчётов, чем десятичное приближение.

Откуда взялись 27 секунд

Дробная часть 720/11 минуты переводится в секунды тем же способом. Целая часть — 65 минут, а остаток, 5/11 минуты, умножается на 60 секунд и даёт 300/11 секунды, то есть 27 целых и 3/11 секунды. Итоговый интервал между двумя соседними совпадениями стрелок — 65 минут 27 и 3/11 секунды, и эта дробь не сокращается до круглого числа. Одиннадцатые доли секунды на циферблате не отобразить, но для расчёта они не лишние.

Как проверить результат простым подсчётом

Формулу легко проверить логикой без градусов и дробей. За 12 часов часовая стрелка проходит круг один раз, а минутная — 12 раз, значит минутная обгоняет часовую на 11 полных кругов. Обогнать на круг и поравняться — это и есть момент совпадения, поэтому за 12 часов таких моментов набирается ровно 11: последнее совпадение суток совпадает с первым совпадением следующих полусуток, и его не считают дважды.

За полные сутки часовая стрелка обходит циферблат дважды, поэтому и совпадений будет вдвое больше — 22. Тот же приём годится для любой пары стрелок с разной скоростью. Секундная стрелка обгоняет минутную гораздо чаще, потому что движется намного быстрее, и совпадает с ней не 22, а 1416 раз за сутки — тем же способом, только с другими числами в разнице скоростей.

• Часовая и минутная стрелки — 22 совпадения в сутки, интервал 65 минут 27 и 3/11 секунды.
• Минутная и секундная стрелки — 1416 совпадений в сутки, интервал чуть больше минуты.
• Часовая и секундная стрелки — 1438 совпадений в сутки.

Зачем вообще считать совпадения стрелок

Задача про стрелки часов — классика школьной олимпиадной математики, и популярна она в первую очередь из-за метода, а не из-за самих настенных часов. Здесь используется идея относительной скорости: чтобы понять, когда один движущийся объект догонит другой, достаточно вычесть их скорости и найти время на полный круг преимущества. Тот же приём работает для двух бегунов на круговой дорожке и для любых тел, движущихся по одному контуру с разной постоянной скоростью.

Циферблат просто даёт удобную наглядную модель: скорость каждой стрелки известна и постоянна, траектория — окружность, а вопрос о моменте встречи превращается в короткое уравнение. Ровно поэтому задачу про стрелки продолжают включать в учебники — она тренирует умение переводить движение в числа быстрее, чем длинные текстовые задачи с поездами и пешеходами.