Что такое двоичная система и чем она отличается от привычной

В повседневной жизни человек считает в десятичной системе: для записи любого числа хватает десяти цифр от 0 до 9, а каждый следующий разряд весит в десять раз больше предыдущего — единицы, десятки, сотни и так далее. Двоичная система устроена по тому же принципу, только цифр в ней всего две, 0 и 1, а каждый разряд весит вдвое больше соседнего справа — единицы, двойки, четвёрки, восьмёрки, шестнадцатки. Число 5, например, раскладывается на 4 плюс 1, то есть на разряды со значениями 100 и 1, а в двоичной записи это выглядит как 101.

Как перевести число из десятичной системы в двоичную вручную

Самый надёжный способ перевода — последовательное деление на 2 с записью остатков. Число делят на 2, записывают остаток, 0 или 1, затем делят на 2 уже частное от предыдущего шага, и так до тех пор, пока частное не станет равно нулю. Двоичная запись получается, если прочитать все остатки снизу вверх, то есть в порядке от последнего деления к первому.

  1. Разделить исходное число на 2, записать остаток 0 или 1
  2. Взять полученное целое частное и снова разделить его на 2, снова записать остаток
  3. Повторять деление, пока частное не станет равно нулю
  4. Прочитать все записанные остатки снизу вверх — это и есть двоичная запись числа

Как перевести двоичное число обратно в десятичное

Обратный перевод проще: каждой позиции в двоичной записи, считая справа налево и начиная с нуля, соответствует своя степень двойки — единица, двойка, четвёрка, восьмёрка и так далее. Нужно сложить те степени двойки, на месте которых стоит единица, и пропустить позиции с нулём. Запись 1101 читается так: единица в разряде восьмёрок, единица в разряде четвёрок, ноль в разряде двоек и единица в разряде единиц, а в сумме получается 8 плюс 4 плюс 0 плюс 1, то есть 13.

Как выглядит сложение столбиком в двоичной записи

Правила переноса разряда работают точно так же, как в десятичной арифметике, только порог переноса наступает уже после двойки, а не после девятки. Вариантов сложения одной пары цифр всего четыре. 0 плюс 0 даёт 0. 0 плюс 1 даёт 1. 1 плюс 1 даёт 0 с переносом единицы в следующий разряд, что в двоичной записи выглядит как 10. Если в следующем разряде уже есть перенесённая единица, три единицы в сумме дают 1 с новым переносом дальше, то есть 11.

Что если бы человек считал так каждый день

Никакой магии в двоичном счёте нет, есть только длина записи. Число 1000 в десятичной системе занимает четыре цифры, а в двоичной уже целых десять — 1111101000. Простая покупка в магазине на несколько тысяч рублей потребовала бы двоичной записи из полутора десятков нулей и единиц, и считать сдачу столбиком в такой системе быстро надоело бы даже самому терпеливому человеку. Есть, впрочем, забавное практическое применение: если каждый палец считать отдельным двоичным разрядом, а не единицей, десятью пальцами рук можно досчитать до 1023.

Почему компьютеру два состояния удобнее десяти

Первым идею считать двойками всерьёз развил немецкий математик Готфрид Лейбниц в конце XVII века: он описал правила двоичной арифметики и увидел в них философскую стройность, хотя практического применения для вычислительных машин тогда ещё не было. Электронике два состояния подошли по совсем другой причине, уже в XX веке: транзистору или лампе гораздо проще надёжно различать всего два уровня сигнала, есть напряжение выше порога или нет его, чем настраиваться на десять чётких промежуточных уровней. При электрических помехах, перепадах питания и неизбежном разбросе характеристик деталей именно бинарное решение «включено или выключено» держится надёжно почти при любых условиях. Более дробная шкала потребовала бы точности, которую сложно и дорого удерживать в реальной электрической схеме.

Где двоичный счёт заметен и сегодня

Байт, из которого состоит почти любой цифровой файл, — это восемь двоичных разрядов, дающих 256 возможных комбинаций нулей и единиц. Цвет пикселя на экране обычно кодируют тремя байтами, по одному на красный, зелёный и синий канал, а буквы и символы текста — отдельными числовыми кодами, которые компьютер хранит и обрабатывает всё в той же двоичной форме. IP-адрес компьютера в сети, если заглянуть под капот, — это четыре числа от 0 до 255, и каждое из них на самом деле восьмиразрядная двоичная запись. Человек в обычной жизни всей этой арифметики не видит, потому что интерфейсы переводят её обратно в привычные десятичные числа и буквы, но внутри почти любого устройства продолжает крутиться та же система нулей и единиц, которую Лейбниц описал ещё в XVII веке.

Частые вопросы

Правда ли, что компьютеры физически умеют считать только двойками

Да, в основе современной цифровой электроники лежит именно двоичный принцип — транзистор либо пропускает ток, либо нет. Существовали и работающие десятичные вычислительные машины, включая некоторые ранние ЭВМ, но они оказались менее надёжными и более сложными в производстве, и отрасль в итоге перешла на двоичную логику почти повсеместно.

Сколько цифр нужно, чтобы двоичной записью выразить число 100

Семь: число 100 в двоичной системе записывается как 1100100. Проверить легко через степени двойки — 64 плюс 32 плюс 4 равно 100, а именно на этих позициях в записи стоят единицы.

Можно ли складывать в столбик числа сразу в разных системах счисления

Напрямую нет, перед сложением оба числа нужно привести к одной системе, иначе разряды будут весить по-разному и результат получится бессмысленным. На практике переводят оба числа в десятичную систему, складывают привычным способом, а затем при необходимости переводят сумму обратно в двоичную запись.

Зачем школьнику или студенту разбираться в двоичной арифметике, если её всегда считает компьютер

Ручной перевод и сложение в столбик показывают механику того, что происходит внутри процессора при выполнении любой операции, — это база для дальнейшего изучения информатики, электроники и программирования. Понимание позиционных систем счисления с разным основанием пригождается и за пределами двоичной темы, например при работе с шестнадцатеричными кодами цвета или адресами памяти.